480
EXERCICES DE LA DEUXIÈME PARTIE
En déduire qu’il existe un revêtement infini cyclique de LP
n (C) sur lequel
α H a une primitive
f H .
Exercices sur le chapitre 7
Exercice 35. Qu’implique la relation
t
AJA = J pour le déterminant d’une
matrice symplectique A ?
Pour montrer que ce déterminant vaut +1, on peut procéder comme
au § 5.6.d. Une autre méthode consiste à montrer que le groupe symplectique
est engendré par les applications
x −→ x + λω(x, a)a
(transvections symplectiques). C’est ce que l’on demande de faire dans cet
exercice.
Exercice 36. Soit T une transvection symplectique (exercice 35 page 480).
Calculer ρ(T ). L’application ρ vérifie-t-elle
ρ(AB) = ρ(A)ρ(B) ?
Exercice 37 (groupe fondamental de U(n)). Le groupe SU(n) opère sur la
sphère unité S
2n−1
⊂ C
n , de sorte que le stabilisateur du dernier vecteur
de la base canonique s’identifie à SU(n − 1). En déduire que SU(n) est
simplement connexe.
Montrer que l’application
U(n)
d´ et
− −−− → S
1
induit un isomorphisme des groupes fondamentaux.
Exercice 38. On considère la matrice
A(t) =
1 + 4π
2 t
2 2πt
2πt
1
pour t ∈ [0, 1].
Vérifier que le chemin t → A(t) est dans S et calculer son indice de Maslov.
Même question (c’est plus délicat) avec la matrice
A(t) =
1 − 4π
2 t
2
−2πt
2πt
1
pour t ∈ [0, 1].
Exercice 39. Dans R
4 muni des coordonnées (q 1 , q 2 , p 1 , p 2 ), de la forme symplectique ω = dp 1 ∧dq 1 +dp 2 ∧dq 2 , et de la structure complexe J =
0 Id
− Id 0
,
on considère la forme quadratique
H =
1
2
(p
2
1 + p
2
2 ) + (q 2 p 1 − q 1 p 2 )
EXERCICES DE LA DEUXIÈME PARTIE
En déduire qu’il existe un revêtement infini cyclique de LP
n (C) sur lequel
α H a une primitive
f H .
Exercices sur le chapitre 7
Exercice 35. Qu’implique la relation
t
AJA = J pour le déterminant d’une
matrice symplectique A ?
Pour montrer que ce déterminant vaut +1, on peut procéder comme
au § 5.6.d. Une autre méthode consiste à montrer que le groupe symplectique
est engendré par les applications
x −→ x + λω(x, a)a
(transvections symplectiques). C’est ce que l’on demande de faire dans cet
exercice.
Exercice 36. Soit T une transvection symplectique (exercice 35 page 480).
Calculer ρ(T ). L’application ρ vérifie-t-elle
ρ(AB) = ρ(A)ρ(B) ?
Exercice 37 (groupe fondamental de U(n)). Le groupe SU(n) opère sur la
sphère unité S
2n−1
⊂ C
n , de sorte que le stabilisateur du dernier vecteur
de la base canonique s’identifie à SU(n − 1). En déduire que SU(n) est
simplement connexe.
Montrer que l’application
U(n)
d´ et
− −−− → S
1
induit un isomorphisme des groupes fondamentaux.
Exercice 38. On considère la matrice
A(t) =
1 + 4π
2 t
2 2πt
2πt
1
pour t ∈ [0, 1].
Vérifier que le chemin t → A(t) est dans S et calculer son indice de Maslov.
Même question (c’est plus délicat) avec la matrice
A(t) =
1 − 4π
2 t
2
−2πt
2πt
1
pour t ∈ [0, 1].
Exercice 39. Dans R
4 muni des coordonnées (q 1 , q 2 , p 1 , p 2 ), de la forme symplectique ω = dp 1 ∧dq 1 +dp 2 ∧dq 2 , et de la structure complexe J =
0 Id
− Id 0
,
on considère la forme quadratique
H =
1
2
(p
2
1 + p
2
2 ) + (q 2 p 1 − q 1 p 2 )