EXERCICES SUR LE CHAPITRE 6
479
Exercice 34 (formes à périodes entières). Soit α une 1-forme fermée sur une
variété V . On suppose que α est « à périodes entières
(8) », c’est-à-dire, avec
les notations du § 6.7.a, que l’image de ϕ α est contenue dans Z ⊂ R. Montrer
que la formule
f (x) =
x
x 0
α
définit une application f : V → R/Z et que
f
dθ = 2πα.
f
f
π
Figure 2
Montrer que le revêtement d’intégration π :
V → V est le revêtement tiré
en arrière dans le diagramme
V
f
/ /
π
R
exp
V
f
/ / R/Z
ou dans la figure 2 et qu’il est cyclique. On considère maintenant la forme
d’action α H (comme au § 6.7.b) sur l’espace projectif P
n (C). Vérifier que
l’on a toujours
S 2
w
ω ∈ Z.
(8) C’est dire que la classe de cohomologie de de Rham de α est contenue dans l’image de
H 1 (V ; Z) → H 1 (V ; R).
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Exercice 34 (formes à périodes entières). Soit α une 1-forme fermée sur une
variété V . On suppose que α est « à périodes entières
(8) », c’est-à-dire, avec
les notations du § 6.7.a, que l’image de ϕ α est contenue dans Z ⊂ R. Montrer
que la formule
f (x) =
x
x 0
α
définit une application f : V → R/Z et que
f
dθ = 2πα.
f
f
π
Figure 2
Montrer que le revêtement d’intégration π :
V → V est le revêtement tiré
en arrière dans le diagramme
V
f
/ /
π
R
exp
V
f
/ / R/Z
ou dans la figure 2 et qu’il est cyclique. On considère maintenant la forme
d’action α H (comme au § 6.7.b) sur l’espace projectif P
n (C). Vérifier que
l’on a toujours
S 2
w
ω ∈ Z.
(8) C’est dire que la classe de cohomologie de de Rham de α est contenue dans l’image de
H 1 (V ; Z) → H 1 (V ; R).