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EXERCICES DE LA DEUXIÈME PARTIE
Exercice 30. Montrer que l’ensemble des points critiques de A H (sans hypothèse de non-dégénérescence) est compact (c’est une conséquence du théorème d’Ascoli).
Exercice 31 (singularités « apparentes » — difficile). Soit (W, ω) une variété
symplectique compacte et soit J une structure presque complexe calibrée
par ω. Soit u : C → W une courbe J-holomorphe, c’est-à-dire, en coordonnée s + it ∈ C telle que
∂u
∂s
+ J(u)
∂u
∂t
= 0.
Montrer que, si u est d’énergie finie, elle se prolonge en une application
J-holomorphe
P
1 (C) = C ∪ {∞} −→ W.
Exercice 32. On considère l’application z → z
n de C dans C. On appelle
A(r) l’aire de l’image du disque de centre 0 et de rayon r, (r) la longueur
de sa circonférence. Calculer A(r) et (r). L’inégalité
(r
2 ) ≤ 2πrA
(r)
obtenue dans la démonstration de la proposition 6.6.2 peut-elle être améliorée ?
Exercice 33. On considère la courbe complexe C 1 d’équation
y
2 = 4x
3
− x − 1
et l’application
u α : C 1 −→ C
2
définie par (x, y) → (α
2 x, α
3 y). On complète la courbe C 1 en une courbe de
P
2 (C) et on prolonge u α en une application
u α : C 1 −→ P
2 (C).
Étudier la limite de u α quand α tend vers 0 (figure 1).
0
∞
α = 1
α ∈ ]0, 1[
α = 0
0
0
∞
∞
Figure 1