EXERCICES SUR LE CHAPITRE 6
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Exercice 26. On considère, sur l’espace LW , la forme d’action
(α H ) x (Y ) =
1
0
ω( ˙
x(t) − X t (x(t)), Y (t))dt.
Soit x 0 ∈ LW un lacet fixé. On fixe un prolongement u 0 de x 0 au disque D
2 .
Montrer que x 0 possède un voisinage U dans LW tel que tout lacet x ∈ U
possède un prolongement u x au disque D
2 , de sorte que
A H (x) = −
D
u
x ω +
1
0
H t (x(t))dt
définisse une fonction C
∞ sur U . En déduire que la forme α H est fermée.
Exercice 27. Soit α une forme fermée sur une variété V et soit X un champ
de pseudo-gradients adapté à α. On définit l’énergie d’une trajectoire γ du
champ X par
E(γ) =
+∞
−∞
−α( ˙
γ(s)) ds.
Montrer que, si l’énergie de γ est finie, alors γ joint deux zéros de α.
Exercice 28 (naturalité de l’équation de Floer). Soit u : R × S
1 une solution
de l’équation de Floer
∂u
∂s
+ J(u)
∂u
∂t
+ grad H t (u) = 0.
On donne un hamiltonien K t dépendant du temps avec K t+1 = K t et le flot
de difféomorphismes symplectiques ψ
t qu’il engendre. Montrer que l’application
u définie par
u(s, t) = (ψ
t )
−1 (u(s, t))
satisfait à
∂ u
∂s
+
J( u)
∂ u
∂t
+ grad
H t ( u) = 0
pour des structures presque complexes
J et un hamiltonien
H t que l’on
déterminera.
Exercice 29. Soit V une variété compacte munie d’une métrique riemannienne et soit f une fonction de Morse sur V . On considère la fonctionnelle
γ −→ E(γ) =
1
2
R
dγ
ds
2
+
grad γ(s) f
2
ds.
Soient a et b deux points critiques de f et soit γ : R → V telle que
lim
s→−∞
γ(s) = a,
lim
s→+∞
γ(s) = b.
Montrer que
E(γ) =
1
2
R
dγ
ds
+ grad γ(s) f
2
ds + f (a) − f (b).
Quels sont les extrema de E sur les courbes γ joignant a à b ?