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EXERCICES DE LA DEUXIÈME PARTIE
passe au quotient en un difféomorphisme ϕ du tore T
2 = R
2 /Z
2 qui préserve
la forme symplectique (ϕ
ω = ω) mais qui n’a aucun point fixe. Montrer
qu’il existe un champ de vecteurs X sur T
2 tel que
ϕ = ϕ
1
X
mais que X n’est pas un champ hamiltonien.
Exercice 23. Soit W une variété symplectique munie d’une opération du
cercle qui préserve la forme symplectique. On suppose que W est simplement connexe. Montrer que l’opération est associée à un hamiltonien périodique H : W → R (au sens de l’exercice 18 page 474). Soit ζ ∈ S
1 et
soit ϕ le difféomorphisme défini par ϕ(x) = ζ · x. Montrer que ϕ est un difféomorphisme hamiltonien et qu’il a au moins
dim HM i (W ; Z/2) points
fixes.
Exercice 24. Soit x ∈ LW , et soit u une courbe dans LW passant par x,
c’est-à-dire une application
u : R × S
1
−→ W
avec u(0, t) = x(t). Soit Y le vecteur tangent à LW défini par u. Si f :
LW → R est une fonction, on pose
Y (x) · f =
∂
∂s
f ◦ u(s, t)| s=0 .
Montrer que cette formule définit bien quelque chose et que ce quelque chose
est une dérivation sur les fonctions.
Exercice 25. On considère sur le tore T
2 = R/Z × R/Z la forme symplectique ω = dy ∧ dx. Soient H et K les fonctions définies de R
2 dans R
par
H(x, y) =
1
2π
cos(2πx), K(x, y) =
1
2π
sin(2πy).
Montrer que H et K définissent des hamiltoniens (autonomes) sur T
2 et
déterminer les champs de vecteurs hamiltoniens X H et H K associés.
Déterminer les flots ϕ t de X H et ψ t de X K ainsi que les orbites périodiques de période 1 de X H et de X K . Les hamiltoniens H et K sont-ils non
dégénérés ?
Calculer la composée σ t = ψ t ◦ ϕ t . Déterminer le hamiltonien F t engendrant l’isotopie hamiltonienne σ t (voir l’exercice 7 page 471). Déterminer les
orbites périodiques de période 1 de X Ft et préciser lesquelles sont contractiles. Montrer que F t est non dégénéré.
EXERCICES DE LA DEUXIÈME PARTIE
passe au quotient en un difféomorphisme ϕ du tore T
2 = R
2 /Z
2 qui préserve
la forme symplectique (ϕ
ω = ω) mais qui n’a aucun point fixe. Montrer
qu’il existe un champ de vecteurs X sur T
2 tel que
ϕ = ϕ
1
X
mais que X n’est pas un champ hamiltonien.
Exercice 23. Soit W une variété symplectique munie d’une opération du
cercle qui préserve la forme symplectique. On suppose que W est simplement connexe. Montrer que l’opération est associée à un hamiltonien périodique H : W → R (au sens de l’exercice 18 page 474). Soit ζ ∈ S
1 et
soit ϕ le difféomorphisme défini par ϕ(x) = ζ · x. Montrer que ϕ est un difféomorphisme hamiltonien et qu’il a au moins
dim HM i (W ; Z/2) points
fixes.
Exercice 24. Soit x ∈ LW , et soit u une courbe dans LW passant par x,
c’est-à-dire une application
u : R × S
1
−→ W
avec u(0, t) = x(t). Soit Y le vecteur tangent à LW défini par u. Si f :
LW → R est une fonction, on pose
Y (x) · f =
∂
∂s
f ◦ u(s, t)| s=0 .
Montrer que cette formule définit bien quelque chose et que ce quelque chose
est une dérivation sur les fonctions.
Exercice 25. On considère sur le tore T
2 = R/Z × R/Z la forme symplectique ω = dy ∧ dx. Soient H et K les fonctions définies de R
2 dans R
par
H(x, y) =
1
2π
cos(2πx), K(x, y) =
1
2π
sin(2πy).
Montrer que H et K définissent des hamiltoniens (autonomes) sur T
2 et
déterminer les champs de vecteurs hamiltoniens X H et H K associés.
Déterminer les flots ϕ t de X H et ψ t de X K ainsi que les orbites périodiques de période 1 de X H et de X K . Les hamiltoniens H et K sont-ils non
dégénérés ?
Calculer la composée σ t = ψ t ◦ ϕ t . Déterminer le hamiltonien F t engendrant l’isotopie hamiltonienne σ t (voir l’exercice 7 page 471). Déterminer les
orbites périodiques de période 1 de X Ft et préciser lesquelles sont contractiles. Montrer que F t est non dégénéré.