EXERCICES SUR LE CHAPITRE 6
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Exercice 20. On reprend la quadrique Q de l’exercice 8 page 18. On considère
les fonctions g et h, restrictions à Q des fonctions définies sur P
3 (C) par
g([z]) =
Im(z 1 z 0 )
|z i |
2
et h([z]) =
Im(z 3 z 2 )
|z i |
2 .
Montrer que g et h sont des hamiltoniens périodiques sur Q.
Comme dans l’exercice 8, on fixe des réels λ et μ tels que 0 < λ < μ et
on considère la fonction f , restriction à Q de
f ([z]) =
λ Im(z 1 z 0 ) + μ Im(z 3 z 2 )
|z i |
2
.
Exprimer le champ de vecteurs hamiltonien X f à l’aide de ceux de g et h.
En déduire les points critiques de f . Quels sont leurs indices (cette question
se traite ici sans calcul en utilisant les exercices 18 et 21) ?
Exercice 21 (difficile). On considère un hamiltonien périodique H sur une
variété symplectique compacte W . Soit x un point critique de H.
(1) En utilisant une version équivariante du théorème de Darboux, montrer qu’il existe une structure presque complexe et des coordonnées locales
au voisinage de x telles que
– l’opération de S
1 , linéarisée sur l’espace vectoriel complexe T x W ,
est de la forme
t · (z 1 , . . . , z n ) = (t
α1 z 1 , . . . , t
αn z n ),
– le hamiltonien s’écrit
H(x 1 , . . . , x n , y 1 , . . . , y n ) =
1
2
i
α i (x
2
i + y
2
i ).
(2) On suppose que le point critique x est isolé. Montrer qu’il est non
dégénéré et d’indice pair.
(3) Montrer qu’une variété symplectique connexe munie d’un hamiltonien périodique dont les points critiques sont isolés est simplement connexe.
(4) Montrer qu’un hamiltonien périodique sur une variété symplectique
compacte et connexe qui n’a que des points critiques isolés a un unique
minimum local et un unique maximum local.
Exercices sur le chapitre 6
Exercice 22. Vérifier que l’application
R
2
−→ R
2
(p, q) −→ (p, q + 1/2)
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Exercice 20. On reprend la quadrique Q de l’exercice 8 page 18. On considère
les fonctions g et h, restrictions à Q des fonctions définies sur P
3 (C) par
g([z]) =
Im(z 1 z 0 )
|z i |
2
et h([z]) =
Im(z 3 z 2 )
|z i |
2 .
Montrer que g et h sont des hamiltoniens périodiques sur Q.
Comme dans l’exercice 8, on fixe des réels λ et μ tels que 0 < λ < μ et
on considère la fonction f , restriction à Q de
f ([z]) =
λ Im(z 1 z 0 ) + μ Im(z 3 z 2 )
|z i |
2
.
Exprimer le champ de vecteurs hamiltonien X f à l’aide de ceux de g et h.
En déduire les points critiques de f . Quels sont leurs indices (cette question
se traite ici sans calcul en utilisant les exercices 18 et 21) ?
Exercice 21 (difficile). On considère un hamiltonien périodique H sur une
variété symplectique compacte W . Soit x un point critique de H.
(1) En utilisant une version équivariante du théorème de Darboux, montrer qu’il existe une structure presque complexe et des coordonnées locales
au voisinage de x telles que
– l’opération de S
1 , linéarisée sur l’espace vectoriel complexe T x W ,
est de la forme
t · (z 1 , . . . , z n ) = (t
α1 z 1 , . . . , t
αn z n ),
– le hamiltonien s’écrit
H(x 1 , . . . , x n , y 1 , . . . , y n ) =
1
2
i
α i (x
2
i + y
2
i ).
(2) On suppose que le point critique x est isolé. Montrer qu’il est non
dégénéré et d’indice pair.
(3) Montrer qu’une variété symplectique connexe munie d’un hamiltonien périodique dont les points critiques sont isolés est simplement connexe.
(4) Montrer qu’un hamiltonien périodique sur une variété symplectique
compacte et connexe qui n’a que des points critiques isolés a un unique
minimum local et un unique maximum local.
Exercices sur le chapitre 6
Exercice 22. Vérifier que l’application
R
2
−→ R
2
(p, q) −→ (p, q + 1/2)