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EXERCICES DE LA DEUXIÈME PARTIE
(2) Montrer qu’il existe un unique champ de vecteurs X sur V tel que
i X α ≡ 1 et i X (dα) = 0
(on dit que X est le champ de Reeb de α).
(3) On considère W = V × R, munie de la 2-forme ω définie par
ω (x,σ) = d(e
σ α).
Montrer que (W, ω) est une variété symplectique (dite symplectifiée de la
variété de contact (V, α)).
(4) Déterminer le champ hamiltonien de la fonction H(x, σ) = σ.
Exemple. Soient V = S
2n+1 la sphère unité de C
n+1 (avec coordonnées
(q 1 + ip 1 , . . . , q n+1 + ip n+1 )) et la 1-forme
α =
1
2
(p i dq i − q i dp i ).
Montrer que α est une forme de contact. Déterminer Ker α et le champ de
Reeb X de α. Montrer que la symplectifiée de (S
2n+1 , α) est symplectomorphe à C
n+1
− {0} muni de sa forme symplectique standard.
Exercice 18. On dit qu’une fonction H sur une variété symplectique est un
hamiltonien périodique
(7) s’il existe une opération du cercle
S
1
× W −→ W
telle que
d
dt
(exp(2iπt) · x) | t=0 = X H (x)
pour tout x ∈ W .
(1) Montrer qu’alors les points fixes de l’opération du cercle sont les
points critiques de H.
(2) Montrer que toutes les orbites (périodiques) de H sont dégénérées.
Exercice 19. On fait opérer le cercle S
1 sur l’espace projectif complexe P
n (C)
par
u · [z 0 , . . . , z n ] = [u
m0 z 0 , . . . , u
mn z n ], m i ∈ Z.
Montrer que la fonction
H([z 0 , . . . , z n ]) =
1
2
m i
z
2
i
|z i |
2
est un hamiltonien périodique associé à cette opération.
À quelle condition (sur les m i ) ce hamiltonien est-il une fonction de
Morse ? Quels sont alors les indices de ses points critiques ?
(7) Pour cette notion, les résultats de base et un peu plus, voir par exemple [5].