EXERCICES SUR LE CHAPITRE 5
473
On pourra vérifier que cette multiplication n’est ni commutative, ni associative (car (ij) = −i(jj)), mais qu’elle satisfait quand même (ab)b = a(bb)
pour tous a et b.
On considère l’espace euclidien R
7 des octaves imaginaires, c’est-à-dire
le sous-espace engendré par (i, j, k, ,i, ,j, ,k). Soit V ⊂ R
7 une sous-variété
orientée de dimension 6. Pour tout point x de V , on appelle n(x) le vecteur
normal unitaire (défini par les orientations de V et de R
7 et on définit
J x : T x V −→ R
7
par J x (u) = n(x) · u (multiplication au sens des octaves). Montrer que
J x est à valeurs dans T x V et que les endomorphismes J x définissent une
structure presque complexe J sur V . Ainsi, toutes les hypersurfaces de R
7
sont presque complexes
(6) .
Exercice 14. On écrit les matrices à 2n lignes et 2n colonnes par blocs
A =
X Y
Z T
, X, Y, Z, T ∈ M n (R).
À quelles conditions sur les matrices X, Y , Z et T la matrice A est-elle dans
le groupe Sp(2n; R) ?
Exercice 15. Soit S une matrice symétrique réelle. Montrer que
exp(JS) ∈ Sp(2n; R).
Réciproquement, on suppose que la matrice S est telle que
∀ t, exp(tJS) ∈ Sp(2n; R),
que peut-on dire de S ?
Exercice 16. Utiliser le corollaire 5.6.7 pour démontrer que le déterminant
d’une matrice symplectique vaut 1.
Exercice 17 (symplectification d’une variété de contact). Soit V une variété
munie d’une 1-forme α non singulière (c’est-à-dire telle que α x = 0 pour
tout x ∈ V ) et telle que
∀ x ∈ V, (dα) x | Ker αx est une forme bilinéaire non dégénérée.
On dit que α est une forme de contact sur V . Ainsi la dimension de V est
impaire, on la note 2n + 1.
(1) Montrer que α ∧ (dα)
∧n est une forme volume sur V .
(6) Remplacer O par H et 7 par 3 serait une façon analogue (mais en l’occurrence compliquée) de montrer que toute surface orientée plongée dans R 3 possède une structure
presque complexe.
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On pourra vérifier que cette multiplication n’est ni commutative, ni associative (car (ij) = −i(jj)), mais qu’elle satisfait quand même (ab)b = a(bb)
pour tous a et b.
On considère l’espace euclidien R
7 des octaves imaginaires, c’est-à-dire
le sous-espace engendré par (i, j, k, ,i, ,j, ,k). Soit V ⊂ R
7 une sous-variété
orientée de dimension 6. Pour tout point x de V , on appelle n(x) le vecteur
normal unitaire (défini par les orientations de V et de R
7 et on définit
J x : T x V −→ R
7
par J x (u) = n(x) · u (multiplication au sens des octaves). Montrer que
J x est à valeurs dans T x V et que les endomorphismes J x définissent une
structure presque complexe J sur V . Ainsi, toutes les hypersurfaces de R
7
sont presque complexes
(6) .
Exercice 14. On écrit les matrices à 2n lignes et 2n colonnes par blocs
A =
X Y
Z T
, X, Y, Z, T ∈ M n (R).
À quelles conditions sur les matrices X, Y , Z et T la matrice A est-elle dans
le groupe Sp(2n; R) ?
Exercice 15. Soit S une matrice symétrique réelle. Montrer que
exp(JS) ∈ Sp(2n; R).
Réciproquement, on suppose que la matrice S est telle que
∀ t, exp(tJS) ∈ Sp(2n; R),
que peut-on dire de S ?
Exercice 16. Utiliser le corollaire 5.6.7 pour démontrer que le déterminant
d’une matrice symplectique vaut 1.
Exercice 17 (symplectification d’une variété de contact). Soit V une variété
munie d’une 1-forme α non singulière (c’est-à-dire telle que α x = 0 pour
tout x ∈ V ) et telle que
∀ x ∈ V, (dα) x | Ker αx est une forme bilinéaire non dégénérée.
On dit que α est une forme de contact sur V . Ainsi la dimension de V est
impaire, on la note 2n + 1.
(1) Montrer que α ∧ (dα)
∧n est une forme volume sur V .
(6) Remplacer O par H et 7 par 3 serait une façon analogue (mais en l’occurrence compliquée) de montrer que toute surface orientée plongée dans R 3 possède une structure
presque complexe.