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EXERCICES DE LA DEUXIÈME PARTIE
(1) Écrire le système hamiltonien correspondant et le résoudre.
(2) On suppose que tous les α i /α j sont irrationnels. Montrer que le système possède exactement n familles de solutions périodiques, chacune contenue dans un plan. On fixe une solution contenue dans le plan d’équations
(q j = p j = 0) j =i . Quels sont les multiplicateurs de Floquet de cette solution ? Est-elle non dégénérée ?
(3) On suppose que tous les α i sont égaux. Que peut-on dire des solutions
périodiques ?
Exercice 10. Soit E un espace vectoriel muni d’une forme symplectique ω
et d’une structure presque complexe J calibrée par ω ; on note ⊥ l’orthogonalité pour le produit scalaire ω(·, J·). Montrer qu’un sous-espace L est
lagrangien si et seulement si L
⊥ = JL.
Exercice 11. Soit (W, ω) une variété symplectique et soit J une structure
presque complexe calibrée par ω. Soit V ⊂ W une sous-variété complexe,
c’est-à-dire stable par J,
∀ x ∈ V, J x (T x V ) ⊂ T x V.
Vérifier que ω définit une forme non dégénérée sur V .
Exercice 12 (complexe, mais pas symplectique). On considère l’application
f : C
2
−→ C
2
(z 1 , z 2 ) −→ (2z 1 , 2z 2 )
et le quotient H (« surface de Hopf ») de C
2
− {0} sous l’action de Z par
n · (z 1 , z 2 ) = f
n (z 1 , z 2 ).
Montrer que le quotient est une variété complexe (c’est-à-dire avec des changements de cartes analytiques complexes) difféomorphe à S
3
× S
1 . De sorte
que son deuxième groupe de cohomologie de de Rham est nul. En déduire
que H ne possède aucune structure symplectique
(5) .
Exercice 13 (octaves de Cayley et structures presque complexes). Rappelons
que l’algèbre des octaves de Cayley est un espace vectoriel réel O de dimension 8, muni d’une base notée
(1, i, j, k, ,, ,i, ,j, ,k)
et de la multiplication (distributive à droite et à gauche sur l’addition)
définie par
i
2 = j
2 = k
2 =
2 = ijk = jki = kij = −1, ii = −i, etc.
(5) On trouvera dans [14] des exemples de variétés symplectiques mais non complexes.
EXERCICES DE LA DEUXIÈME PARTIE
(1) Écrire le système hamiltonien correspondant et le résoudre.
(2) On suppose que tous les α i /α j sont irrationnels. Montrer que le système possède exactement n familles de solutions périodiques, chacune contenue dans un plan. On fixe une solution contenue dans le plan d’équations
(q j = p j = 0) j =i . Quels sont les multiplicateurs de Floquet de cette solution ? Est-elle non dégénérée ?
(3) On suppose que tous les α i sont égaux. Que peut-on dire des solutions
périodiques ?
Exercice 10. Soit E un espace vectoriel muni d’une forme symplectique ω
et d’une structure presque complexe J calibrée par ω ; on note ⊥ l’orthogonalité pour le produit scalaire ω(·, J·). Montrer qu’un sous-espace L est
lagrangien si et seulement si L
⊥ = JL.
Exercice 11. Soit (W, ω) une variété symplectique et soit J une structure
presque complexe calibrée par ω. Soit V ⊂ W une sous-variété complexe,
c’est-à-dire stable par J,
∀ x ∈ V, J x (T x V ) ⊂ T x V.
Vérifier que ω définit une forme non dégénérée sur V .
Exercice 12 (complexe, mais pas symplectique). On considère l’application
f : C
2
−→ C
2
(z 1 , z 2 ) −→ (2z 1 , 2z 2 )
et le quotient H (« surface de Hopf ») de C
2
− {0} sous l’action de Z par
n · (z 1 , z 2 ) = f
n (z 1 , z 2 ).
Montrer que le quotient est une variété complexe (c’est-à-dire avec des changements de cartes analytiques complexes) difféomorphe à S
3
× S
1 . De sorte
que son deuxième groupe de cohomologie de de Rham est nul. En déduire
que H ne possède aucune structure symplectique
(5) .
Exercice 13 (octaves de Cayley et structures presque complexes). Rappelons
que l’algèbre des octaves de Cayley est un espace vectoriel réel O de dimension 8, muni d’une base notée
(1, i, j, k, ,, ,i, ,j, ,k)
et de la multiplication (distributive à droite et à gauche sur l’addition)
définie par
i
2 = j
2 = k
2 =
2 = ijk = jki = kij = −1, ii = −i, etc.
(5) On trouvera dans [14] des exemples de variétés symplectiques mais non complexes.