EXERCICES SUR LE CHAPITRE 5
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Exercice 7 (le groupe des difféomorphismes hamiltoniens). Dans cet exercice
on considère une variété compacte W munie d’une forme symplectique ω. On
appelle Ham(W ) l’ensemble des difféomorphismes de W qui sont le temps 1
d’un flot hamiltonien.
(1) On suppose que le hamiltonien H t engendre l’isotopie ϕ t et que le
hamiltonien K t engendre ψ t . Soit
G t = H t + K t ◦ ϕ
−1
t .
Montrer que
X Gt (x) = X Ht (x) + (T ϕ
−1
t (x) ϕ t )(X Kt ◦ ϕ
−1
t (x)).
En déduire que ϕ t ◦ ψ t est l’isotopie hamiltonienne engendrée par le hamiltonien
(4) H t + K t ◦ ϕ
−1
t .
(2) Quelle est l’isotopie hamiltonienne engendrée par −H t ◦ ϕ t ?
(3) Montrer que l’ensemble Ham(W ) est un sous-groupe du groupe des
difféomorphismes symplectiques de W .
(4) Soit Φ un difféomorphisme symplectique de W . Quelle est l’isotopie hamiltonienne engendrée par le hamiltonien H t ◦ Φ ? Montrer que le
sous-groupe Ham(W ) est distingué (normal) dans le groupe de tous les difféomorphismes symplectiques de W .
Exercice 8. Soit x un point critique non dégénéré d’un hamiltonien autonome H sur R
2n . On appelle ϕ
t le flot de X H . Exprimer X H dans les
coordonnées (p i , q i ). Montrer que la matrice jacobienne de ϕ
t vérifie
d
dt
Jac x ϕ
t
= (J 0 Hess x (H)) · Jac x ϕ
t
et donc que
Jac x ϕ
t = e
tJ0 Hessx(H) .
Soit x un point critique d’un hamiltonien autonome H sur une variété
symplectique W . Montrer que, si x est non dégénéré comme orbite périodique, alors il est non dégénéré comme point critique de H.
Exercice 9 (oscillateur harmonique). On considère, sur la variété symplectique R
2n , le hamiltonien
H(q, p) =
1
2
α i (p
2
i + q
2
i )
où les α i sont des nombres réels positifs, disons 0 < α 1 ≤ α 2 ≤ · · · ≤ α n
pour fixer les idées.
(4) Ainsi, même si H et K sont autonomes, l’isotopie hamiltonienne composée ne vient
pas (en général) d’un hamiltonien autonome. Une question subsidiaire : quand est-ce le
cas ?