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EXERCICES DE LA DEUXIÈME PARTIE
Exercice 3 (sous-variétés lagrangiennes). Si (W, ω) est une variété symplectique de dimension 2n, on dit qu’une sous-variété j : L ⊂ W est lagrangienne
si dim L = n et si j
ω = 0.
(1) Montrer que, dans une surface symplectique, toutes les courbes sont
lagrangiennes.
(2) Montrer que, si L 1 est lagrangienne dans W 1 et L 2 est lagrangienne
dans W 2 , L 1 × L 2 est lagrangienne dans W 1 × W 2 . Construire un tore T
n
lagrangien dans R
2n . Montrer que toute variété symplectique contient des
tores lagrangiens.
(3) Soit η une 1-forme sur une variété V . On considère η comme une
section de T
V (comme dans l’exercice 2 (page 469)). Montrer que l’image
de η est une sous-variété lagrangienne si et seulement si la forme η est
fermée.
(4) Soit f une fonction C
∞ sur une variété compacte V . En vertu de
ce qui précède, la 1-forme df définit une sous-variété lagrangienne de T
V .
Montrer que celle-ci rencontre la section nulle.
(5) On considère la variété produit W × W , munie de la forme symplectique ω ⊕ (−ω). Montrer que la diagonale est une sous-variété lagrangienne.
Soit ϕ un difféomorphisme de W dans elle-même. À quelle condition sur ϕ
le graphe de ϕ est-il une sous-variété lagrangienne de W × W ?
Exercice 4. Soit w une application de classe C
∞ de la sphère S
2 dans le
cotangent T
V d’une variété V . Montrer que
S 2
w
ω = 0.
Exercice 5. Soit ω une forme symplectique sur une surface compacte Σ.
Montrer que Σ est orientée, puis que
Σ
ω = 0.
On considère l’inclusion P
1 (C) ⊂ P
n (C) induite par l’inclusion C
2
⊂ C
n+1 .
Montrer que c’est une sous-variété symplectique. En déduire qu’il existe une
application de classe C
∞
w : S
2
−→ P
n (C)
telle que, si ω désigne maintenant la forme symplectique de P
n (C),
S 2
w
ω = 0.
Exercice 6. Soit ϕ
1 un difféomorphisme hamiltonien de W . Montrer que le
graphe de ϕ
1 est transverse à la diagonale de W ×W en (x, x) si et seulement
si la trajectoire de x est non dégénérée.