EXERCICES DE LA DEUXIÈME PARTIE
Exercices sur le chapitre 5
Exercice 1. Soit E un espace vectoriel symplectique de dimension 2n. Si F
est une partie de E, on note F
◦ le sous-espace vectoriel orthogonal pour la
forme symplectique, formé de tous les vecteurs x tels que ω(x, y) = 0 pour
tout y ∈ F .
Si F est un sous-espace de E, montrer que
dim F + dim F
◦ = dim E.
On dit que F est isotrope si la forme ω est nulle sur F , c’est-à-dire si F ⊂ F
◦ .
Que peut-on dire de la dimension de F ? On dit que F est lagrangien si F
est isotrope et dim F = n.
Soit F un sous-espace « co-isotrope » (c’est-à-dire dont l’orthogonal est
isotrope). Montrer que ω induit une forme symplectique sur l’espace vectoriel quotient F/F
◦ . Soit L un sous-espace lagrangien de E tel que L+F = E.
Montrer que la composition
L ∩ F ⊂ F −→ F/F
◦
est l’injection d’un sous-espace lagrangien.
Exercice 2. Soit V une variété et soit η une 1-forme sur V . On peut considérer η comme une section
η : V −→ T
V
du fibré cotangent. Si λ désigne la forme de Liouville sur T
V , quelle est la
forme η
λ sur V ?