484
EXERCICES DE LA DEUXIÈME PARTIE
puis que dim Ker F
= 0 et que F est surjectif.
Exercices sur le chapitre 10
Exercice 46. On considère l’opérateur
L 0 : W
1,2 (R; R
N ) −→ L
2 (R; R
N )
Y −→
dY
ds
+ A 0 (s)
où A 0 (s) est une matrice diagonale (pour tout s) et constante pour |s| assez
grand, de la forme
A =
Id m +
0
0 − Id n +
pour s ≥ M et
Id m −
0
0 − Id n −
pour s ≤ −M.
(1) Vérifier que L 0 est de Fredholm. Déterminer son indice en fonction
des m
± et n
± .
(2) En s’inspirant des méthodes du § 8.8, en déduire une autre démonstration de la proposition 10.2.8.
Exercices sur le chapitre 11
Exercice 47. On reprend ici les notations et les résultats de l’exercice 25
page 476, où l’on a déterminé les solutions contractiles et périodiques de
période 1 d’un hamiltonien F t sur le tore T
2 . On demande de calculer les
indices de ces trajectoires (un calcul essentiellement demandé dans l’exercice 38 (page 480)) et de déterminer le complexe de Floer pour ce hamiltonien (supposé régulier).
EXERCICES DE LA DEUXIÈME PARTIE
puis que dim Ker F
= 0 et que F est surjectif.
Exercices sur le chapitre 10
Exercice 46. On considère l’opérateur
L 0 : W
1,2 (R; R
N ) −→ L
2 (R; R
N )
Y −→
dY
ds
+ A 0 (s)
où A 0 (s) est une matrice diagonale (pour tout s) et constante pour |s| assez
grand, de la forme
A =
Id m +
0
0 − Id n +
pour s ≥ M et
Id m −
0
0 − Id n −
pour s ≤ −M.
(1) Vérifier que L 0 est de Fredholm. Déterminer son indice en fonction
des m
± et n
± .
(2) En s’inspirant des méthodes du § 8.8, en déduire une autre démonstration de la proposition 10.2.8.
Exercices sur le chapitre 11
Exercice 47. On reprend ici les notations et les résultats de l’exercice 25
page 476, où l’on a déterminé les solutions contractiles et périodiques de
période 1 d’un hamiltonien F t sur le tore T
2 . On demande de calculer les
indices de ces trajectoires (un calcul essentiellement demandé dans l’exercice 38 (page 480)) et de déterminer le complexe de Floer pour ce hamiltonien (supposé régulier).