466
CHAPITRE 13. LEMMES TECHNIQUES
où
S : [0, 1] × R × S
1
−→ M 2n (R)
est une application de classe C
∞ . Donc
(dF
Γλ+λ
ρ
) 0 (Y ) − (dF
Γλ
ρ
) 0 (Y )
L p = S(λ)(Y ) − S(0)(Y ) L p
≤ k 4 |λ| |Y L p
≤ k 4 |λ| |Y W 1,p
avec k 4 = sup λ∈[0,1] ∂S/∂λ. Puis,
V ρ (λ + λ ), 0 − V ρ (λ , 0)
Z
ρ
i
L p
≤
∂J
∂λ
(λ + λ , s + ρ) −
∂J
∂λ
(λ , s + ρ)
∂w ρ
∂t
Z
ρ
i
L p
+
grad wρ
∂H
∂λ
(λ + λ , s + ρ, t) −
∂H
∂λ
(λ , s + ρ, t)
Z
ρ
i
L p
≤
sup
λ∈[0,1]
s∈R
∂
2 J
∂λ 2 (λ, s)
|λ|
∂w ρ
∂t
Z
ρ
i
L p
+ |λ|
sup
λ∈[0,1]
(s,t)∈R×S
1
grad wρ
∂
2 H
∂λ 2 (λ, s, t)
Z
ρ
i
L p
≤ k 5 |λ| .
Nous arrivons donc à
(dF ρ ) (λ,0) (a, Y ) − (dF ρ ) (0,0) (a, Y )
L p ≤ k 4 |λ| |Y W 1,p + k 5 |a| |λ| ,
ce qui montre que
(dF ρ ) (λ,0) − (dF ρ ) (0,0)
op ≤ k 6 |λ| .
Combinons cette inégalité avec
(dF ρ ) (λ,Z) − (dF ρ ) (λ,0)
op ≤ (k 1 + k 2 ) Z W 1,p
obtenue ci-dessus, pour trouver finalement
(dF ρ ) (λ,Z) − (dF ρ ) (0,0)
op ≤ (k 1 + k 2 ) Z W 1,p + k 6 |λ|
≤ k(Z W 1,p + |λ|)
ce qu’il fallait démontrer pour terminer enfin la démonstration du
lemme 11.4.5.
Au § 11.2.c, pour établir les propriétés désirées de ψ, nous avons utilisé
l’énoncé suivant, qu’il est temps de démontrer ici.