13.8. VARIANTES DES LEMMES SUR LA DÉRIVÉE SECONDE
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Lemme (lemme 11.4.7). Il existe une constante C > 0 indépendante de ρ telle
que, pour ρ ≥ ρ 0 , on ait
∂F ρ
∂ρ
(λ ρ , γ ρ ) −
∂F ρ
∂ρ
(0, 0)
L p
≤ C
(λ ρ , γ ρ )
R×W 1,p .
Démonstration. Le lemme 9.4.16 s’applique aux opérateurs F
Γλ pour λ ∈
[0, 1] (voir la démonstration du théorème 11.2.2). Donc, pour Z ∈ B(0, r 0 ),
nous avons
∂F
Γ λ
∂ρ
(ρ, Z) −
∂F
Γ λ
∂ρ
(ρ, 0)
L p
≤ M Z W 1,p
pour une constante M > 0 qui ne dépend ni de ρ (ni de λ puisque λ ∈ [0, 1]).
En particulier, comme F ρ (λ, Z) = F
Γ λ+λ
ρ
(Z), nous avons
∂F ρ
∂ρ
(λ ρ , γ ρ ) −
∂F ρ
∂ρ
(λ ρ , 0)
L p
≤ M γ ρ W 1,p .
Pour finir la démonstration du lemme, il suffit de démontrer l’existence
d’une constante C ≥ 0 indépendante de ρ telle que
∂F ρ
∂ρ
(λ ρ , 0) −
∂F ρ
∂ρ
(0, 0)
L p
≤ C
λ ρ
.
Pour λ ∈ R quelconque, nous avons
F ρ (λ, 0) =
F
Γλ+λ
ρ
(w ρ )
Z
ρ
i
=
∂w ρ
∂s
+ J
λ+λ
s+ρ (w ρ )
∂w ρ
∂t
+ grad H
λ+λ
s+ρ,t (w ρ )
Z
ρ
i
.
Notons χ(ρ, λ) = F ρ (λ, 0) ∈ L
p (R × S
1 ; R
2n ). La fonction (de (s, t))
∂χ/∂λ(ρ, λ) est à support compact. En effet, les dérivées par rapport à λ
de J
λ+λ
s+ρ
et grad H
λ+λ
s+ρ,t s’annulent lorsque |s + ρ| ≥ R, puisque les isotopies Γ λ sont constantes pour |s| ≥ R. Ainsi, ∂
2 χ/∂ρ∂λ est-elle également à
support compact comme fonction de (s, t). Il s’ensuit que
∂χ
∂ρ
(ρ, λ) −
∂χ
∂ρ
(ρ, 0)
L p
≤ |λ| ·
sup
λ
∂
2 χ
∂ρ∂λ
L p
= |λ| ·
sup
λ
∂
2 χ
∂ρ∂λ
L p ([−R−ρ,R−ρ]×S 1 ;R 2n )
≤ K |λ| · sup
λ∈R
ρ≥ρ0
(s,t)∈[−R−ρ,R−ρ]×S
1
∂
2 χ
∂ρ∂λ
(s, t)
(la norme figurant dans le dernier terme est la norme euclidienne de R
2n ).
Comme ∂w ρ /∂t, Z
ρ
i et leurs dérivées par rapport à ρ sont bornées en norme
par des constantes indépendantes de ρ. Il en est de même des dérivées par