13.8. VARIANTES DES LEMMES SUR LA DÉRIVÉE SECONDE
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Nous procédons comme dans la démonstration du lemme 13.4.1, avec ici
V ρ
jouant le rôle de Y
ρ
0 , et obtenons
(dχ) ra+(1−r)b − (dχ) b
op ≤ k 3 r ra + (1 − r)b − b L p
= k 3 r a − b L p
≤ k 3 (C + K) Z W 1,p
≤ k 3 (C + K)r 0 .
Avec notre estimation de ψϕ(Z) − ψϕ(0), nous en déduisons que
χψϕ(Z) − χψϕ(0) L p ≤ k 3 (C + K)
2 r 0 Z W 1,p
et le lemme 13.8.2 est démontré.
Nous continuons donc à démontrer l’estimation du lemme 11.4.5. Grâce
au lemme précédent (lemme 13.8.2), nous avons
(dF ρ ) (λ,Z) (a, Y ) − (dF ρ ) (λ,0) (a, Y )
L p
≤ k 1 Z W 1,p Y W 1,p + |a| k 2 Z W 1,p
= (k 1 + k 2 )(|a| + Y W 1,p ) Z W 1,p ,
donc
(dF ρ ) (λ,Z) − (dF ρ ) (λ,0)
op ≤ (k 1 + k 2 ) Z W 1,p .
Nous avons donc majoré le premier terme du membre de droite de l’inégalité
(dF ρ ) (λ,Z) − (dF ρ ) (0,0)
op ≤
(dF ρ ) (λ,Z) − (dF ρ ) (λ,0)
op
+
(dF ρ ) (λ,0) − (dF ρ ) (0,0)
op ,
et nous devons encore majorer le deuxième terme. Écrivons, pour (a, Y ) ∈
R × W
1,p (R × S
1 ; R
2n ),
(dF ρ ) (λ,0) (a, Y ) = (dF
Γ λ+λ
ρ
) 0 (Y ) + a(V ρ (λ + λ , 0)) (Z
ρ
i )
où, rappelons-le,
V ρ (λ + λ , 0) =
∂J
∂λ
(λ + λ , s + ρ)
∂w ρ
∂t
+ grad wρ
∂H
∂λ
(λ + λ , s + ρ, t).
Nous avons donc
(dF ρ ) (λ,0) (a, Y ) − (dF ρ ) 0,0) (a, Y )
L p
≤
(dF
Γλ+λ
ρ
) 0 (Y ) − (dF
Γλ
ρ
) 0 (Y )
L p
+ |a|
(V ρ (λ + λ , 0)) Z
ρ
i
− (V ρ (λ , 0)) Z
ρ
i
L p .
Comme dans le § 11.2.b (et sur le modèle de la proposition 8.4.6)
(dF
Γ λ+λ
ρ
) 0 (Y ) = L
Γ λ
ρ (Y ) =
∂Y
∂s
+ J 0
∂Y
∂t
+ S(λ)Y