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CHAPITRE 13. LEMMES TECHNIQUES
Mais celle du lemme 11.4.5 n’est pas finie. Nous utilisons, comme au
chapitre 13, un diagramme commutatif
W
1,p (R × S
1 ; R
2n )
i ρ
z → V ρ (λ + λ , Z) / / L
p (R × S
1 ; R
2n )
W
1,p (R × S
1 ; R
m )
(Id,
V ρ )
/ / W
1,p (R × S
1 ; R
m ) × L
p (R × S
1 ; R
m )
p ρ
O O
Notons ϕ = i ρ , ψ = (Id,
V ρ ), χ = p ρ . Pour terminer d’établir la majoration souhaitée, nous énonçons le lemme :
Lemme 13.8.2. Il existe une constante k 2 > 0 (indépendante de ρ) telle que,
pour Z W 1,p ≤ r 0 , on ait
χψϕ(Z) − χψϕ(0) L p ≤ k 2 Z W 1,p .
Et nous le démontrons.
Démonstration. L’application ϕ est linéaire, sa norme est bornée uniformément par rapport à ρ, donc
ϕ(Z) W 1,p ≤ Cr 0 .
Grâce au lemme précédent (lemme 13.8.1), il existe K > 0 tel que
ψϕ(Z) − ψϕ(0) W 1,p ×L p = ϕ(Z) − ϕ(0) W 1,p +
V ρ (Z) −
V ρ (0)
L p
≤ C Z W 1,p + K Z W 1,p .
Posons ensuite a = ψ(ϕ(Z)) et b = ψ(ϕ(0)), nous avons
χ(a) − χ(b) L p ≤ sup
r∈[0,1]
(dχ) ra+(1−r)b
op a − b L p
≤ sup
r∈[0,1]
(dχ) ra+(1−r)b
op (C + K) Z W 1,p .
Ici b = ψ(ϕ(0)) = ψ(0) = (0,
V ρ (0)) et nous savons que
V ρ (s, t) =
∂
J
∂λ
(λ + λ , s + ρ) · D 1
exp (wρ,Z)
∂w ρ
∂t
.
Pour (λ, s, t) fixé, la norme euclidienne de ce vecteur est uniformément bornée par une constante indépendante de ρ, qui est précisément
sup
(λ,s)∈[0,1]×R
∂
J
∂λ
sup
p∈W
Z≤r0
D 1
exp (p,Z)
sup
(s,t)∈S 1 ×R
∂w ρ
∂t
.
CHAPITRE 13. LEMMES TECHNIQUES
Mais celle du lemme 11.4.5 n’est pas finie. Nous utilisons, comme au
chapitre 13, un diagramme commutatif
W
1,p (R × S
1 ; R
2n )
i ρ
z → V ρ (λ + λ , Z) / / L
p (R × S
1 ; R
2n )
W
1,p (R × S
1 ; R
m )
(Id,
V ρ )
/ / W
1,p (R × S
1 ; R
m ) × L
p (R × S
1 ; R
m )
p ρ
O O
Notons ϕ = i ρ , ψ = (Id,
V ρ ), χ = p ρ . Pour terminer d’établir la majoration souhaitée, nous énonçons le lemme :
Lemme 13.8.2. Il existe une constante k 2 > 0 (indépendante de ρ) telle que,
pour Z W 1,p ≤ r 0 , on ait
χψϕ(Z) − χψϕ(0) L p ≤ k 2 Z W 1,p .
Et nous le démontrons.
Démonstration. L’application ϕ est linéaire, sa norme est bornée uniformément par rapport à ρ, donc
ϕ(Z) W 1,p ≤ Cr 0 .
Grâce au lemme précédent (lemme 13.8.1), il existe K > 0 tel que
ψϕ(Z) − ψϕ(0) W 1,p ×L p = ϕ(Z) − ϕ(0) W 1,p +
V ρ (Z) −
V ρ (0)
L p
≤ C Z W 1,p + K Z W 1,p .
Posons ensuite a = ψ(ϕ(Z)) et b = ψ(ϕ(0)), nous avons
χ(a) − χ(b) L p ≤ sup
r∈[0,1]
(dχ) ra+(1−r)b
op a − b L p
≤ sup
r∈[0,1]
(dχ) ra+(1−r)b
op (C + K) Z W 1,p .
Ici b = ψ(ϕ(0)) = ψ(0) = (0,
V ρ (0)) et nous savons que
V ρ (s, t) =
∂
J
∂λ
(λ + λ , s + ρ) · D 1
exp (wρ,Z)
∂w ρ
∂t
.
Pour (λ, s, t) fixé, la norme euclidienne de ce vecteur est uniformément bornée par une constante indépendante de ρ, qui est précisément
sup
(λ,s)∈[0,1]×R
∂
J
∂λ
sup
p∈W
Z≤r0
D 1
exp (p,Z)
sup
(s,t)∈S 1 ×R
∂w ρ
∂t
.