13.8. VARIANTES DES LEMMES SUR LA DÉRIVÉE SECONDE
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Démonstration. Écrivons
V ρ (λ + λ , Z) −
V ρ (λ + λ , 0)
L p ≤
≤
∂
J
∂λ
(λ + λ , s + ρ)
D 1
exp (wρ,Z)
∂w ρ
∂t
+ D 2
exp (wρ,Z)
∂Z
∂t
− D 1
exp (wρ,0)
∂w ρ
∂t
L p
+
grad
exp (wρ,Z)
∂H
∂λ
(λ+λ , s+ρ, t)−grad
exp (wρ ,0)
∂H
∂λ
(λ+λ , s+ρ, t)
L p
.
L’application
∂
J
∂λ
: [0, 1] × R −→ End(T W )
est à support compact. Il existe donc une constante C > 0 telle que
pour tous (λ, s) ∈ [0, 1] × R,
∂
J
∂λ
(λ, s)
op ≤ C.
Le premier terme du membre de droite de notre inégalité se majore donc
par
C
D 1
exp (wρ,Z)
∂w ρ
∂t
+ D 2
exp (wρ,Z)
∂Z
∂t
− D 1
exp (wρ,0)
∂w ρ
∂t
L p
.
Les lemmes 13.2.3 et 13.2.2 s’appliquent, à
A(p, X, V ) = D 1
exp (p,X) V et A(p, X, V ) = D 2
exp (p,X) V,
pour majorer cette expression (avec le même raisonnement qu’au § 13.5),
par K Z W 1,p .
Pour majorer le deuxième terme (celui avec les gradients), remarquons
que la majoration W
1,p de Z, Z W 1,p ≤ r 0 , implique que Z est borné,
Z L ∞ ≤ r 1 (pour un certain r 1 > 0). Considérons l’application
ϕ : [0, 1] × R × S
1
× W × B(0, r 1 ) −→ R
m
(λ, s, t, p, X) −→ grad
exp (p,X)
∂H
∂λ
(λ, s, t).
Elle est de classe C
1 et à support compact. Il existe donc une constante
C > 0 telle que dϕ
op ≤ C. D’où il suit que, pour la norme euclidienne,
ϕ(λ + λ , s + ρ, t, w ρ (s, t), Z) − ϕ(λ + λ , s + ρ, t, w ρ (s, t), 0) ≤ C Z .
En appliquant la norme L
p , nous déduisons que le deuxième terme du
membre de droite de notre inégalité est majoré comme souhaité
grad
exp (wρ,Z)
∂H
∂λ
(λ + λ , s + ρ, t) − grad
exp (wρ ,0)
∂H
∂λ
(λ + λ , s + ρ, t)
L p
≤ C Z L p ≤ C Z W 1,p .
Ce qui termine la démonstration du lemme 13.8.1.