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CHAPITRE 13. LEMMES TECHNIQUES
(expressions dans lesquelles (Z
ρ,Z
i
) désigne le repère orthonormé au point
exp wρ(s,t) Z(s, t), obtenu en transportant parallèlement le repère (Z
ρ
i (s, t))
le long de la courbe r → exp wρ(s,t) (rZ(s, t))).
Nous utilisons la notation
dF ρ (λ, Z)(a, 0) = a (V ρ (λ + λ , Z)) (Z
ρ,Z
i
)
et nous remarquons que V ρ (λ , 0) est le champ V ρ qui apparaît dans la
formule calculant L
Γ
ρ (a, 0).
Pour majorer
(dF ρ ) (λ,Z) − (dF ρ ) (λ,0)
op , écrivons
(dF ρ ) (λ,Z) (a, Y ) − (dF ρ ) (λ,0) (a, Y )
L p
≤
(dF
Γλ+λ
ρ
) Z (Y ) − (dF
Γλ+λ
ρ
) 0 (Y )
L p
+ |a|
(V ρ (λ + λ , Z)) (Z
ρ,Z
i
) − (V ρ (λ + λ , 0)) (Z
ρ,Z
i
)
L p
.
Pour majorer le premier terme de cette somme, nous utilisons le lemme 9.4.8
ou plus exactement son analogue pour le couple (H, J) défini par l’homotopie Γ λ+λ . Nous avons déjà évoqué la possibilité de cette analogie dans la
démonstration du théorème 11.2.2. Nous avons
(dF
Γ λ+λ
ρ
) Z (Y ) − (dF
Γ λ+λ
ρ
) 0 (Y )
L p
≤ k 1 Z W 1,p Y W 1,p
pour une constante k 1 > 0 indépendante de ρ. Pour majorer le terme restant,
considérons V ρ (λ + λ , •) comme une application
W
1,p (R × S
1 ; R
m ) −→ L
p (R × S
1 ; R
m ),
et écrivons (avec les notations du chapitre 11)
V ρ (λ + λ , Z) =
∂
J
∂λ
(λ + λ , s + ρ)
∂(exp wρ Z)
∂t
+ grad
exp wρ (Z)
∂H
∂λ
(λ + λ , s + ρ, t)
=
∂
J
∂λ
(λ + λ , s + ρ)
D 1
exp (wρ,Z)
∂w ρ
∂t
+ D 2
exp (wρ,Z)
∂Z
∂t
+ grad
exp(wρ,Z)
∂H
∂λ
(λ + λ , s + ρ, t).
Nous utilisons le résultat :
Lemme 13.8.1. Soit r 0 > 0. Il existe une constante K > 0 telle que, pour
tout ρ ≥ ρ 0 et pour tout Z ∈ B(0, r 0 ) ⊂ W
1,p (R × S
1 ; R
m ), on ait
V ρ (λ + λ , Z) −
V ρ (λ + λ , 0)
L p ≤ K Z W 1,p .