13.8. VARIANTES DES LEMMES SUR LA DÉRIVÉE SECONDE
461
Le lemme 13.2.3 donne sans mal
P (X) − P (0) ≤ C
X +
∂X
∂t
.
Ensuite, pour tout (s, t),
(w ρ (s, t), σX(s, t)) ∈ W × B(0, r) (un compact)
et
∂H s+ρ
∂ρ
= 0 pour |s + ρ| ≥ R,
donc
d grad
∂H s+ρ,t
∂ρ
exp(p,X)
est bornée
sur le compact [−R, R] × S
1
× W × B(0, r), de sorte que finalement
Q(X) − Q(0) ≤ sup
σ∈[0,1]
d grad
∂H s+ρ,t
∂ρ
exp(wρ,σX)
· D 2
exp (wρ,σX)
≤ C X ,
ce qui permet de trouver l’estimation voulue et de terminer la démonstration.
Nous démontrons aussi ici la variante du lemme 9.4.8 dont nous avons
eu besoin au § 11.4.b, c’est-à-dire l’énoncé :
Lemme (lemme 11.4.5). Soit r 0 > 0. Il existe une constante K > 0 telle
que, pour tout ρ ≥ ρ 0 et pour tous (λ, Z) ∈ R × W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) (avec
Z ≤ r 0 ), on ait
(dF ρ ) (λ,Z) − (dF ρ ) (0,0)
op ≤ K(Z W 1,p + |λ|).
Démonstration. Nous avons
(dF ρ ) (λ,Z) − (dF ρ ) (0,0)
op ≤
(dF ρ ) (λ,Z) − (dF ρ ) (λ,0)
op
+
(dF ρ ) (λ,0) − (dF ρ ) (0,0)
op
et nous analysons séparément les deux termes du membre de droite. Commençons par le premier. Soit (a, Y ) ∈ R × W
1,p (R × S
1 ; R
2n ). Nous avons
(dF ρ ) (λ,Z) (a, Y ) = (dF ρ ) (λ,Z) (0, Y ) + (dF ρ ) (λ,Z) (a, 0)
= (dF
Γ λ+λ
ρ
) Z (Y ) +
∂
∂σ
σ=λ
F
Γ λ+λ+aσ
ρ
(exp wρ (Z))
(Z
ρ,Z
i
)
= (dF
Γλ+λ
ρ
) Z (Y ) + a
∂J
∂λ
(λ + λ , s + ρ)
∂(exp wρ Z)
∂t
+ grad exp wρ(Z)
∂H
∂λ
(λ + λ , s + ρ, t)
(Z
ρ,Z
i
)