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CHAPITRE 13. LEMMES TECHNIQUES
pour X(s, t) < r 1 , il existe un K > 0 tel que
((d
F) X − (d
F) 0 )v(s, t)
≤ K X(s, t) v(s, t)
+
∂X
∂s
(s, t)
v(s, t) +
∂X
∂t
(s, t)
v(s, t)
+ X(s, t)
∂v
∂s
(s, t)
+ X(s, t)
∂v
∂t
(s, t)
.
On remplace X par σY et v par Y , pour trouver, pour une constante C 7
indépendante de n et pour Y L ∞ < r 1 ,
N(Y ) L p ≤
1
0
C 7 σ
Y (s, t)
2
+ Y (s, t)
∂Y
∂s
(s, t)
+ Y (s, t)
∂Y
∂t
(s, t)
dσ
L p
≤ C 7
Y (s, t)
Y (s, t) +
∂Y
∂s
(s, t)
+
∂Y
∂t
(s, t)
L p
≤ C 7 Y L ∞
Y +
∂Y
∂s
+
∂Y
∂t
L p
≤ C 7 Y L ∞ Y W 1,p
et le lemme 13.7.1 est démontré.
13.8. Variantes à paramètre(s) des lemmes sur la dérivée seconde
Nous donnons dans ce paragraphe les démonstrations des différentes versions à paramètre(s) des lemmes sur la dérivée seconde de l’opérateur de
Floer utilisés plus haut.
Pour la démonstration du théorème 11.2.2, nous avons eu besoin d’une
variante du lemme 9.4.16 sur la dérivée seconde de l’opérateur de Floer : il
fallait tenir compte du fait que H et J dépendent du paramètre ρ utilisé
pour le recollement. C’est ce que nous faisons ici.
Pour vérifier les hypothèses du lemme 13.5.1, nous avons démontré qu’il
existait une constante C 1 telle que pour tous s, t tels que X(s, t) ≤ r 1 et
pour tout ρ,
∂
F ρ
∂ρ
(X) −
∂
F ρ
∂ρ
(0)
≤ C 1
X +
∂X
∂s
+
∂X
∂t
.
La formule calculant la dérivée ∂
F ρ (X) contient deux nouveaux termes, dus
à la dépendance en ρ de J et H, ce sont
P (X) =
∂J
∂ρ
(s + ρ)
D 1
exp (wρ,X)
∂w ρ
∂t
+ D 2
exp (wρ,X)
∂X
∂t
Q(X) = grad
∂H s+ρ,t
∂ρ
( exp(w ρ , X)) .
et