13.7. DEUX AUTRES LEMMES TECHNIQUES
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Admettons-le provisoirement. On a alors
(d
F) 0 (Y n )
L p =
F(0) + N(Y n )
L p ≤
F(0)
L p + N(Y n ) L p .
Comme Y n L ∞ tend vers 0, on peut appliquer le lemme pour n assez grand.
On trouve
(d
F) 0 (Y n )
L p ≤
F(0)
L p + C 7 Y n L ∞ Y n W 1,p .
En mettant ensemble les majorations de la norme W
1,p de Y n , de la
norme L
p de L(ζ n ) et celle que nous venons d’obtenir, nous obtenons,
pour n assez grand,
Y n W 1,p ≤ (C 1 + C 3 ) χ n W 1,p + C 2 L(ζ n ) L p
≤ (C 1 + C 3 ) χ n W 1,p + C 8 Y n L ∞ + C 9
(d
F) 0 (Y n )
L p
≤ (C 1 + C 3 ) χ n W 1,p + C 8 Y n L ∞
+ C 9
F(0)
L p + C 10 Y n L ∞ Y n W 1,p ,
ce qui implique
Y n W 1,p ≤
(C 1 + C 3 ) χ n W 1,p + C 8 Y n L ∞ + C 9
F(0)
L p
1 − C 10 Y n L ∞
.
Il reste à démontrer le lemme 13.7.1.
Démonstration du lemme 13.7.1. Nous avons
N(Y ) L p = N(Y ) − N(0) L p =
1
0
∂
∂σ
N(σY ) dσ
L p
=
1
0
(dN) σY (Y ) dσ
L p
≤
1
0
(dN) σY (Y ) dσ
L p
=
1
0
((d
F) σY − (d
F) 0 )Y
dσ
L p
.
Fixons (s, t) ∈ R × S
1 . Lorsque nous avons vérifié l’hypothèse (3) du
lemme 13.5.1 (page 450), nous avons obtenu des estimations de la norme
euclidienne ((d
F) X − (d
F) 0 )(v)(s, t). Ces estimations sont valables pour
X(s, t) ≤ r 1 pour un certain r 1 > 0. Reprenons ces estimations, en faisant
au préalable la remarque qu’elles restent valides pour w n = w ν,ρn , même
si elles ont été obtenues pour w ρ = w Id,ρ . Nous avons donc démontré que,