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CHAPITRE 13. LEMMES TECHNIQUES
où l’application
P : W × R
m
× R
m
× R
m
−→ R
2n
est linéaire en sa dernière variable. Nous avons démontré (dans la démonstration du lemme 9.4.16) que, pour tous v, w ∈ W
1,p (R × S
1 ; R
m ), on a
(D 1 p) (0, F(0)) (v)
L p ≤ C 4 v L p et
(D 2 p) (0, F(0)) (w)
L p ≤ C 5 w L p .
Il est possible d’améliorer légèrement la première estimation, en remarquant
que
F(0) = F(w n ) s’annule pour s en dehors de [−1, 1] (puisque là, w n est
une trajectoire de Floer). Comme p est linéaire en sa deuxième variable, on
en déduit que, pour tout v ∈ W
1,p (R × S
1 ; R
m ),
∀ (s, t) ∈ (R − [−1, 1]) × S
1 , (D 1 p) (0, F(0)) v(s, t) = 0.
L’argument utilisé dans la démonstration du lemme 9.4.16 donne alors
(D 1 p) (0, F(0)) v
L p ≤ C 4 v L p ([−1,1]×S 1 ;R m ) .
En utilisant ces remarques, on majore L(ζ n ) L p :
L(ζ n ) L p ≤
(D 1 p) (0, F(0)) (Y n )
L p +
(D 2 p) (0, F(0)) (d
F) 0 (Y n )
L p
≤ C 4 Y n L p ([−1,1]×S 1 ;R m ) + C 5
(d
F) 0 (Y n )
L p (R×S 1 ;R m )
≤ C 6 Y n L ∞ ([−1,1]×S 1 ;R m ) + C 5
(d
F) 0 (Y n )
L p (R×S 1 ;R m )
≤ C 6 Y n L ∞ (R×S 1 ;R m ) + C 5
(d
F) 0 (Y n )
L p (R×S 1 ;R m )
.
Le premier terme tend vers 0 par la proposition 9.6.3. Nous majorons
maintenant le second terme. Rappelons que
n = exp wn Y n , de sorte que
F(Y n ) = F( n ) = 0 puisque n est une trajectoire de Floer. Écrivons une
formule alla Taylor pour
F, similaire à celle que nous avons écrite pour F
pour lui appliquer la méthode de Newton-Picard (lemme 9.4.4). Nous avons
F(Y ) =
F(0) + (d
F) 0 (Y ) + N(Y )
où N : W
1,p (R × S
1 ; R
m ) → L
p (R × S
1 ; R
m ) vérifie
N(0) = 0, et (dN) Z = (d
F) Z − (d
F) 0 .
Appliqué en Y = Y n , cela donne
0 =
F(0) + (d
F) 0 (Y n ) + N(Y n ).
C’est que nous utilisons pour majorer le second terme dans l’inégalité cidessus. Encore un lemme :
Lemme 13.7.1. Il existe des constantes C 7 > 0 et r 1 > 0 telles que, pour
tout Y ∈ W
1,p (R × S
1 ; R
2n ), si Y L ∞ ≤ r 1 , alors
N(Y ) L p ≤ C 7 Y L ∞ Y W 1,p .
CHAPITRE 13. LEMMES TECHNIQUES
où l’application
P : W × R
m
× R
m
× R
m
−→ R
2n
est linéaire en sa dernière variable. Nous avons démontré (dans la démonstration du lemme 9.4.16) que, pour tous v, w ∈ W
1,p (R × S
1 ; R
m ), on a
(D 1 p) (0, F(0)) (v)
L p ≤ C 4 v L p et
(D 2 p) (0, F(0)) (w)
L p ≤ C 5 w L p .
Il est possible d’améliorer légèrement la première estimation, en remarquant
que
F(0) = F(w n ) s’annule pour s en dehors de [−1, 1] (puisque là, w n est
une trajectoire de Floer). Comme p est linéaire en sa deuxième variable, on
en déduit que, pour tout v ∈ W
1,p (R × S
1 ; R
m ),
∀ (s, t) ∈ (R − [−1, 1]) × S
1 , (D 1 p) (0, F(0)) v(s, t) = 0.
L’argument utilisé dans la démonstration du lemme 9.4.16 donne alors
(D 1 p) (0, F(0)) v
L p ≤ C 4 v L p ([−1,1]×S 1 ;R m ) .
En utilisant ces remarques, on majore L(ζ n ) L p :
L(ζ n ) L p ≤
(D 1 p) (0, F(0)) (Y n )
L p +
(D 2 p) (0, F(0)) (d
F) 0 (Y n )
L p
≤ C 4 Y n L p ([−1,1]×S 1 ;R m ) + C 5
(d
F) 0 (Y n )
L p (R×S 1 ;R m )
≤ C 6 Y n L ∞ ([−1,1]×S 1 ;R m ) + C 5
(d
F) 0 (Y n )
L p (R×S 1 ;R m )
≤ C 6 Y n L ∞ (R×S 1 ;R m ) + C 5
(d
F) 0 (Y n )
L p (R×S 1 ;R m )
.
Le premier terme tend vers 0 par la proposition 9.6.3. Nous majorons
maintenant le second terme. Rappelons que
n = exp wn Y n , de sorte que
F(Y n ) = F( n ) = 0 puisque n est une trajectoire de Floer. Écrivons une
formule alla Taylor pour
F, similaire à celle que nous avons écrite pour F
pour lui appliquer la méthode de Newton-Picard (lemme 9.4.4). Nous avons
F(Y ) =
F(0) + (d
F) 0 (Y ) + N(Y )
où N : W
1,p (R × S
1 ; R
m ) → L
p (R × S
1 ; R
m ) vérifie
N(0) = 0, et (dN) Z = (d
F) Z − (d
F) 0 .
Appliqué en Y = Y n , cela donne
0 =
F(0) + (d
F) 0 (Y n ) + N(Y n ).
C’est que nous utilisons pour majorer le second terme dans l’inégalité cidessus. Encore un lemme :
Lemme 13.7.1. Il existe des constantes C 7 > 0 et r 1 > 0 telles que, pour
tout Y ∈ W
1,p (R × S
1 ; R
2n ), si Y L ∞ ≤ r 1 , alors
N(Y ) L p ≤ C 7 Y L ∞ Y W 1,p .