13.7. DEUX AUTRES LEMMES TECHNIQUES
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Démonstration. Les constantes C i qui interviennent dans ce qui suit sont
indépendantes de n. Nous avons
Y n W 1,p = i(ζ n ) W 1,p ≤ C 1 ζ n W 1,p = C 1 χ n + ω n W 1,p
≤ C 1 (χ n W 1,p + ω n W 1,p )
où nous avons utilisé le fait que i est bornée (indépendamment de n),
ce que nous avons démontré page 436. Appliquons la proposition 9.4.7 à
ω n ∈ W
⊥
n . On trouve
Y n W 1,p ≤ C 1 (χ n W 1,p + ω n W 1,p )
≤ C 1 χ n W 1,p + C 2 L(ω n ) L p
= C 1 χ n W 1,p + C 2 L(ζ n − χ n ) L p
≤ C 1 χ n W 1,p + C 2 L(ζ n ) L p + C 2 L(χ n ) L p .
La norme de l’opérateur linéaire L est majorée par une constante indépendante de n. En effet, L = (dF ) 0 pour F = p◦(Id ×
F)◦i. Pour les opérateurs
qui interviennent dans cette composition, nous avons vérifié les hypothèses
(2) et (4) du lemme 13.5.1, exactement ce dont nous avons besoin pour
conclure que la norme de la différentielle de la composée (dF ) 0 est uniformément bornée. Il faut toutefois préciser que ces résultats ont été obtenus
pour le pré-recollement w ρ et pas pour un pré-recollement de la forme w ν,ρ .
Les lecteurs pourront vérifier que tous les arguments sont en tout point
similaires dans ce cas un peu plus général.
Revenons à l’estimation que nous venons d’obtenir pour la norme de Y n .
De ce qui précède, on déduit
Y n W 1,p ≤ C 1 χ n W 1,p + C 2 L(ζ n ) L p + C 3 χ n W 1,p
= (C 1 + C 3 ) χ n W 1,p + C 2 L(ζ n ) L p .
Grâce au lemme 9.6.14, nous savons que le premier terme tend vers 0. Il
reste à majorer la norme L
p de L(ζ n ). Nous avons
L(ζ n ) = (dF ) 0 (ζ n ) = (d(p ◦ (Id ×
F) ◦ i)) 0 (ζ n )
= (d(p ◦ (Id ×
F))) 0 i(ζ n )
= (d(p ◦ (Id ×
F))) 0 (Y n )
= (D 1 p) (0, F(0)) (Y n ) + (D 2 p) (0, F(0)) (d
F) 0 (Y n ).
L’application p = p ρ (ici dépendant de n),
p : W
1,p (R × S
1 ; R
m ) × L
p (R × S
1 ; R
m ) −→ L
p (R × S
1 ; R
2n )
est définie par la formule
p((X, Y )) i (s, t) = P (w n (s, t), X(s, t), Z i (s, t), Y (s, t))
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Démonstration. Les constantes C i qui interviennent dans ce qui suit sont
indépendantes de n. Nous avons
Y n W 1,p = i(ζ n ) W 1,p ≤ C 1 ζ n W 1,p = C 1 χ n + ω n W 1,p
≤ C 1 (χ n W 1,p + ω n W 1,p )
où nous avons utilisé le fait que i est bornée (indépendamment de n),
ce que nous avons démontré page 436. Appliquons la proposition 9.4.7 à
ω n ∈ W
⊥
n . On trouve
Y n W 1,p ≤ C 1 (χ n W 1,p + ω n W 1,p )
≤ C 1 χ n W 1,p + C 2 L(ω n ) L p
= C 1 χ n W 1,p + C 2 L(ζ n − χ n ) L p
≤ C 1 χ n W 1,p + C 2 L(ζ n ) L p + C 2 L(χ n ) L p .
La norme de l’opérateur linéaire L est majorée par une constante indépendante de n. En effet, L = (dF ) 0 pour F = p◦(Id ×
F)◦i. Pour les opérateurs
qui interviennent dans cette composition, nous avons vérifié les hypothèses
(2) et (4) du lemme 13.5.1, exactement ce dont nous avons besoin pour
conclure que la norme de la différentielle de la composée (dF ) 0 est uniformément bornée. Il faut toutefois préciser que ces résultats ont été obtenus
pour le pré-recollement w ρ et pas pour un pré-recollement de la forme w ν,ρ .
Les lecteurs pourront vérifier que tous les arguments sont en tout point
similaires dans ce cas un peu plus général.
Revenons à l’estimation que nous venons d’obtenir pour la norme de Y n .
De ce qui précède, on déduit
Y n W 1,p ≤ C 1 χ n W 1,p + C 2 L(ζ n ) L p + C 3 χ n W 1,p
= (C 1 + C 3 ) χ n W 1,p + C 2 L(ζ n ) L p .
Grâce au lemme 9.6.14, nous savons que le premier terme tend vers 0. Il
reste à majorer la norme L
p de L(ζ n ). Nous avons
L(ζ n ) = (dF ) 0 (ζ n ) = (d(p ◦ (Id ×
F) ◦ i)) 0 (ζ n )
= (d(p ◦ (Id ×
F))) 0 i(ζ n )
= (d(p ◦ (Id ×
F))) 0 (Y n )
= (D 1 p) (0, F(0)) (Y n ) + (D 2 p) (0, F(0)) (d
F) 0 (Y n ).
L’application p = p ρ (ici dépendant de n),
p : W
1,p (R × S
1 ; R
m ) × L
p (R × S
1 ; R
m ) −→ L
p (R × S
1 ; R
2n )
est définie par la formule
p((X, Y )) i (s, t) = P (w n (s, t), X(s, t), Z i (s, t), Y (s, t))