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CHAPITRE 13. LEMMES TECHNIQUES
de sorte que nous avons
]−∞,−1]×S 1
|α n |
∂u
∂s
(s + ρ n , t)
ds dt ≤ K 1 χ n L 2 .
Comme K 1 , toutes les constantes K i > 0 qui vont intervenir dans ce qui
suit sont indépendantes de n. Nous avons de la même manière
[1,+∞[×S 1
|β n |
∂v
∂s
(s − ν(ρ n ), t)
ds dt ≤ K 2 χ n L 2 (R×S 1 ;R 2n ) .
Le terme central se majore simplement par l’inégalité de Cauchy-Schwarz
[−1,1]×S 1
χ n ds dt ≤ K 3 χ n L 2 ([−1,1]×S 1 ;R 2n ) ≤ K 3 χ n L 2 (R×S 1 ;R 2n ) .
Nous avons ainsi obtenu
χ n L 1 ≤ K 4 χ n L 2 ,
de sorte que, pour n ≥ N ε , nous avons
χ n
2
L 2 ≤ MK 4 ε χ n L 2 , donc χ n L 2 ≤ MK 4 ε,
d’où
lim
n→+∞
χ n L 2 = 0 et enfin lim
n→+∞
χ n L 1 = 0.
En revenant à la décomposition de χ n , on en déduit que
lim
n→+∞
]−∞,1]×S 1
|α n |
∂u
∂s
(s + ρ n , t)
= 0,
donc lim n→+∞ α n = 0 et de même lim n→+∞ β n = 0. Par conséquent,
χ n W 1,p ≤ |α n |
∂u
∂s
# wn 0
W 1,p
+ |β n |
0#w n
∂v
∂s
W 1,p
tend vers 0 puisque les normes W
1,p des deux vecteurs de la base de W n
utilisée sont évidemment bornées (uniformément par rapport à n). Ce qui
termine la démonstration du lemme 9.6.14.
Le deuxième lemme (utilisé dans la démonstration de l’unicité du recollement) que nous voulons démontrer ici est :
Lemme (lemme 9.6.15). Il existe des constantes positives K 1 et K 2 telles que,
pour tout n ∈ N,
Y n W 1,p ≤ K 1
χ n W 1,p + Y n L ∞ +
F(0) L p
1 − K 2 Y n L ∞
.
Nous utilisons bien sûr ici les notations définies autour de l’énoncé 9.6.15.
Rappelons que ζ n ∈ W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) est décomposé en χ n + ω n où χ n
est de la forme α# wn β (α ∈ Ker L
u , β ∈ Ker L
v ) et ω n est orthogonal aux
vecteurs de cette forme (voir page 319).
CHAPITRE 13. LEMMES TECHNIQUES
de sorte que nous avons
]−∞,−1]×S 1
|α n |
∂u
∂s
(s + ρ n , t)
ds dt ≤ K 1 χ n L 2 .
Comme K 1 , toutes les constantes K i > 0 qui vont intervenir dans ce qui
suit sont indépendantes de n. Nous avons de la même manière
[1,+∞[×S 1
|β n |
∂v
∂s
(s − ν(ρ n ), t)
ds dt ≤ K 2 χ n L 2 (R×S 1 ;R 2n ) .
Le terme central se majore simplement par l’inégalité de Cauchy-Schwarz
[−1,1]×S 1
χ n ds dt ≤ K 3 χ n L 2 ([−1,1]×S 1 ;R 2n ) ≤ K 3 χ n L 2 (R×S 1 ;R 2n ) .
Nous avons ainsi obtenu
χ n L 1 ≤ K 4 χ n L 2 ,
de sorte que, pour n ≥ N ε , nous avons
χ n
2
L 2 ≤ MK 4 ε χ n L 2 , donc χ n L 2 ≤ MK 4 ε,
d’où
lim
n→+∞
χ n L 2 = 0 et enfin lim
n→+∞
χ n L 1 = 0.
En revenant à la décomposition de χ n , on en déduit que
lim
n→+∞
]−∞,1]×S 1
|α n |
∂u
∂s
(s + ρ n , t)
= 0,
donc lim n→+∞ α n = 0 et de même lim n→+∞ β n = 0. Par conséquent,
χ n W 1,p ≤ |α n |
∂u
∂s
# wn 0
W 1,p
+ |β n |
0#w n
∂v
∂s
W 1,p
tend vers 0 puisque les normes W
1,p des deux vecteurs de la base de W n
utilisée sont évidemment bornées (uniformément par rapport à n). Ce qui
termine la démonstration du lemme 9.6.14.
Le deuxième lemme (utilisé dans la démonstration de l’unicité du recollement) que nous voulons démontrer ici est :
Lemme (lemme 9.6.15). Il existe des constantes positives K 1 et K 2 telles que,
pour tout n ∈ N,
Y n W 1,p ≤ K 1
χ n W 1,p + Y n L ∞ +
F(0) L p
1 − K 2 Y n L ∞
.
Nous utilisons bien sûr ici les notations définies autour de l’énoncé 9.6.15.
Rappelons que ζ n ∈ W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) est décomposé en χ n + ω n où χ n
est de la forme α# wn β (α ∈ Ker L
u , β ∈ Ker L
v ) et ω n est orthogonal aux
vecteurs de cette forme (voir page 319).