13.7. DEUX AUTRES LEMMES TECHNIQUES
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Il suit que
R×S 1
χ n ds dt =
]−∞,−1]×S 1
χ n ds dt
+
[−1,1]×S 1
χ n ds dt +
[1,+∞[×S 1
χ n ds dt
=
]−∞,−1]×S 1
|α n |
∂u
∂s
(s + ρ n , t)
ds dt
+
[−1,1]×S 1
χ n ds dt +
[1,+∞[×S 1
|β n |
∂v
∂s
(s − ν(ρ n ), t)
ds dt.
Nous allons majorer chacun de ces trois termes. Pour alléger l’écriture et
raccourcir les formules, posons
M n =
]−∞,−1]×S 1
|α n |
2
∂u
∂s
(s + ρ n , t)
2
ds dt.
Nous avons évidemment
M n ≤ ≤χ n L 2 .
]−∞,−1]×S 1
|α n |
∂u
∂s
(s + ρ n , t)
ds dt
= M n
]−∞,−1]×S 1
∂u
∂s
(s + ρ n , t)
ds dt
]−∞,−1]×S 1
∂u
∂s
(s + ρ n , t)
2
ds dt
= M n
]−∞,−1+ρn]×S 1
∂u
∂s
(s, t)
ds dt
]−∞,−1+ρn]×S 1
∂u
∂s
(s, t)
2
ds dt
.
Ensuite, le numérateur de la fraction se majore
]−∞,−1+ρn]×S 1
∂u
∂s
(s, t)
ds dt ≤
∂u
∂s
L 1 (R×S 1 ;R 2n )
et son dénominateur se minore
]−∞,−1+ρn]×S 1
∂u
∂s
(s, t)
2
ds dt ≥
∂u
∂s
L 2 (]−∞,0]×S 1 ;R 2n )
.
Posons
K 1 =
∂u
∂s
L 1 (R×S 1 ;R 2n )
∂u
∂s
L 2 (]−∞,0]×S 1 ;R 2n )
,