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CHAPITRE 13. LEMMES TECHNIQUES
En passant aux normes L
p et en utilisant le fait que lim ρ→+∞ γ L p = 0,
on déduit que la norme L
p (toujours pour ρ = ρ n ) de
D 1
exp (wρ,γ(ρ))
∂w ρ
∂ρ
− α n
∂w ρ
∂ρ
− D 1
exp (wρ,0)
∂w ρ
∂ρ
− α n
∂w ρ
∂ρ
tend vers 0 quand n tend vers l’infini, et donc, comme on a vu que la norme
du premier terme tendait vers 0,
lim
n→+∞
D 1
exp (wρ,0)
∂w ρ
∂ρ
− α n
∂w ρ
∂ρ
L p
= 0,
c’est-à-dire
lim
n→+∞
∂w ρ
∂ρ
− α n
∂w ρ
∂s
ρn
L p
= 0,
ce que nous voulions démontrer.
13.7. Deux autres lemmes techniques
Nous démontrons ici deux lemmes
(3) utilisés dans la démonstration de
l’unicité du recollement. Voici le premier :
Lemme (lemme 9.6.14).
lim
n→+∞
χ n W 1,p = 0.
Démonstration. Nous avons
R×S 1
χ n
2 ds dt =
R×S 1
χ n , χ n ds dt =
R×S 1
ζ n , χ n ds dt.
En appliquant, par exemple, le lemme 8.2.4, on trouve une constante M > 0
telle que
R×S 1
ζ n , χ n ds dt ≤ M ζ n L ∞
R×S 1
χ n ds dt.
Comme Y n = i(ζ n ), (ζ n ) j = Y n , Z j et compte tenu de la proposition 9.6.3,
on a lim n→+∞ ζ n L ∞ = 0. Soit ε > 0. On déduit de ce qui précède qu’il
existe N ε tel que, pour tout n ≥ N ε ,
R×S 1
χ n
2 ds dt ≤ Mε
R×S 1
χ n ds dt.
Écrivons χ n dans la base « canonique » de W n
χ n = α n
∂u
∂s
# wn 0
+ β n
0# wn
∂v
∂s
avec α n , β n ∈ R.
(3) Eux aussi significatifs, bien que techniques.