13.6. ENCORE UN LEMME TECHNIQUE
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Comme
∂w ρ
∂s
(s, t) =
∂u
∂s
(s + ρ, t) pour s ≥ −1,
on a
∂w ρ
∂s
L p
≥
∂u
∂s
L p (]−∞,ρ−1]×S 1 )
≥ C 0 > 0
et (par le lemme 9.4.13)
lim
ρ→+∞
γ(ρ) L p = 0,
lim
ρ→+∞
∂γ
∂s
L p
= lim
ρ→+∞
γ W 1,p = 0.
Donc il existe une constante C 1 telle que B n ≥ C 1 pour tout n et il s’ensuit
que la suite (α n ) est bornée.
On a ensuite
∂
∂ρ
exp wρ γ ρ (s, t)
ρn
= α n
∂
∂s
exp wρ γ ρ (s, t)
ρn
,
ou
∂
∂ρ
exp wρ γ ρ (s, t)
ρn
= α n
∂
∂s
exp wρ γ ρ (s, t)
ρn
,
ou encore
D 1
exp (wρ,γ(ρ))
∂w ρ
∂ρ
+ D 2
exp (wρ,γ(ρ))
∂γ
∂ρ
ρn
= α n
D 1
exp (wρ,γ(ρ))
∂w ρ
∂s
+ D 2
exp (wρ,γ(ρ))
∂γ
∂s
ρn
.
Les estimations utilisées ci-dessus montrent que
lim
n→+∞
D 2
exp (wρ,γ(ρ))
∂γ
∂ρ
L p
= lim
n→+∞
D 2
exp (wρ,γ(ρ))
∂γ
∂s
L p
= 0.
Comme la suite α n est bornée, on a
lim
n→+∞
D 1
exp (wρ,γ(ρ))
∂w ρ
∂ρ
− α n
∂w ρ
∂ρ
ρn
L p
= 0.
Fixons encore une fois (s, t) ∈ R × S
1 . À l’aide du lemme 13.2.3, on trouve,
pour la norme euclidienne, en (s, t) et ρ = ρ n ,
D 1
exp (wρ,γ(ρ))
∂w ρ
∂ρ
− α n
∂w ρ
∂ρ
− D 1
exp (wρ,0)
∂w ρ
∂ρ
− α n
∂w ρ
∂ρ
≤ C γ(ρ)
∂w ρ
∂ρ
− α n
∂w ρ
∂ρ
≤ Ck γ(ρ)
puisque
∂w ρ
∂ρ
C 0
,
∂w ρ
∂s
C 0 et α n sont bornées.