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CHAPITRE 13. LEMMES TECHNIQUES
Pour (s, t) fixés et ρ = ρ n on peut alors appliquer le lemme 13.2.3 aux
applications linéaires D i
exp (p,X) (·) pour i = 1, 2, p = w ρn (s, t) et X =
γ(ρ n )(s, t). Il suit que, pour la norme euclidienne, en (s, t) et ρ = ρ n , on a
D 1
exp (wρ,γ(ρ))
∂w ρ
∂ρ
≤ C
∂w ρ
∂ρ
D 2
exp (wρ,γ(ρ))
∂w ρ
∂ρ
≤ C
∂γ
∂ρ
.
et
En prenant les normes L
p , on a donc
A n ≤ C
∂w ρ
∂ρ
ρ=ρn
L p
+
∂γ
∂ρ
ρ=ρn
L p
.
Rappelons que
w ρ (s, t)
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
= u(s + ρ, t)
pour s ≤ −1
tend vers y(t) pour s ∈ [−1, 1] et ρ → +∞
= v(s − ρ, t)
pour s ≥ 1,
donc
∂w ρ
∂ρ
L p
≤
∂u
∂s
L p
+
∂v
∂s
L p
+ 1
pour ρ assez grand et en particulier, cette norme est bornée uniformément
par rapport à ρ. On a aussi
lim
s→+∞
∂γ
∂ρ
= 0
par la proposition 9.4.15, d’où le fait que la suite A n est bornée. Passons
maintenant à B n . En ρ = ρ n , on a
B n ≥
D 1
exp (wρ,γ(ρ))
∂w ρ
∂s
L p
−
D 2
exp (wρ,γ(ρ))
∂γ
∂s
L p
≥
D 1
exp (wρ,0)
∂w ρ
∂s
L p
−
D 1
exp (wρ,γ(ρ))
∂w ρ
∂s
− D 1
exp (wρ,0)
∂w ρ
∂s
L p
− C
∂γ
∂s
L p
(grâce à l’analogue de la minoration de D 2
exp ci-dessus pour le troisième terme). Fixons (s, t) ∈ R × S
1 et (toujours) ρ = ρ n . On a, par le
lemme 13.2.3,
D1 exp (wρ,γ(ρ))
∂w ρ
∂s
− D 1
exp (wρ,0)
∂w ρ
∂s
≤ C γ(ρ)
∂w ρ
∂s
≤ Ck γ(ρ) puisque
∂w ρ
∂s
C 0
≤ k.
En utilisant que D 1
exp (wρ,0) = Id, on trouve
B n ≥
∂w ρ
∂s
L p
− Ck γ(ρ) L p − C
∂γ
∂s
L p
.