13.6. ENCORE UN LEMME TECHNIQUE
451
Comme Z
ρ
i , ∂Z
ρ
i /∂ρ, ∂w ρ /∂ρ ainsi que Y 0 =
F wρ
sont uniformément bornées par une constante k (indépendante de ρ, s et t), on en
déduit
∂p
i
ρ
∂ρ
(X, Y ) −
p
i
ρ
∂ρ
(0, Y 0 )
≤ 2kC (X + Y − Y 0 )
et, en prenant les normes L
p ,
∂p
i
ρ
∂ρ
(X, Y ) −
∂p
i
ρ
∂ρ
(0, Y 0 )
≤ 2kC (X L p + Y − Y 0 L p )
≤ 2kC (X W 1,p + Y − Y 0 L p ) .
Chaque composante p
i
ρ de p ρ satisfait à la condition (3) donc p ρ la satisfait
aussi.
On a donc vérifié toutes les hypothèses, de sorte que le lemme 13.5.1
s’applique pour achever la démonstration du lemme 9.4.16.
13.6. Encore un lemme technique
Nous démontrons ici un des lemmes techniques
(2) utilisés plus haut (pour
démontrer que
ψ est immersive) :
Lemme (lemme 9.5.1). La suite (α n ) est bornée et l’on a
lim
n→+∞
∂w ρ
∂ρ
− α n
∂w ρ
∂s
ρn
L p
= 0.
Démonstration du lemme 9.5.1. Montrons d’abord que la suite (α n ) est bornée. Posons
A n =
D 1
exp (wρ,γ(ρ))
∂w ρ
∂ρ
+ D 2
exp (wρ,γ(ρ))
∂γ
∂ρ
ρ=ρn
L p
B n =
D 1
exp (wρ,γ(ρ))
∂w ρ
∂s
+ D 2
exp (wρ,γ(ρ))
∂γ
∂s
ρ=ρn
L p
de sorte qu’on a |α n | = A n /B n . Montrons que A n est majoré et que B n est
minoré par une constante strictement positive. Fixons r 0 > 0. On a
lim
ρ→+∞
γ W 1,p = 0, donc γ(ρ n ) W 1,p ≤ r 0
pour n assez grand et donc, en utilisant encore une fois l’injection continue
W
1,p (R × S
1 ; R
m ) −→ L
∞ (R × S
1 ; R
m )
on a
sup
(s,t)∈R×S 1
γ(s, t) ≤ Kr 0 .
(2) Celui-ci est plus significatif que ses prédécesseurs.