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CHAPITRE 13. LEMMES TECHNIQUES
Pour l’hypothèse (4), comme on a
ϕ ρ (Y ) = (i ρ (Y ),
F ρ i ρ (Y )),
on a pour la dérivée
∂ϕ ρ
∂ρ
(0) =
∂i ρ
∂ρ
(0),
∂
F ρ
∂ρ
(0) + (d
F ρ ) 0
∂i ρ
∂ρ
(0)
=
0,
∂
F ρ
∂ρ
(0)
.
Puis
∂
F ρ
∂ρ
(0)
L p
=
∂
∂ρ
∂w ρ
∂s
+
J wρ
∂w ρ
∂t
+ grad H t (w ρ )
L p
=
∂
2 w ρ
∂ρ∂s
+ D 1
J wρ
∂w ρ
∂ρ
,
∂w ρ
∂t
+
J wρ
∂
2 w ρ
∂ρ∂t
+ (d grad H t ) wρ
∂w ρ
∂ρ
L p
≤ C
∂
2 w ρ
∂ρ∂s
L p
+
∂w ρ
∂ρ
∂w ρ
∂t
L p
+
∂
2 w ρ
∂ρ∂t
L p
+
∂w ρ
∂ρ
L p
.
Or toutes les dérivées de w ρ sont uniformément bornées en norme L
p : elles
le sont sur [−1, 1]×S
1 (puisqu’elles le sont en C
∞ ), pour |s| ≥ 1, on utilise le
fait que w ρ (s, t) = u(s + ρ, t) (ou v(s − ρ, t)) et la décroissance exponentielle
de u et de v, ce qui implique que leurs dérivées sont L
p . On a donc
∂ϕ ρ
∂ρ
(0)
≤ k
où k > 0 est indépendante de ρ.
– Vérification de la condition (3) pour ψ ρ = P ρ . Nous avons
ϕ ρ (0) = (0,
F ρ (0)).
Notons Y 0 =
F ρ (0) et calculons les dérivées (par rapport à ρ) des p
i
ρ (X, Y )
pour i = 1, . . . , 2n. On a
∂p
i
ρ (X, Y )
∂ρ
=
∂P
∂ρ
(w ρ , X, Z
ρ
i , Y )
= (D 1 P ) (wρ,X,Z
ρ
i ,Y )
∂w ρ
∂ρ
+ P
w ρ , X,
∂Z
ρ
i
∂ρ
, Y
.
Fixons (s, t) ∈ R×S
1 et appliquons le lemme 13.2.3 à l’application bilinéaire
P (p,X) (·, ·) et à l’application trilinéaire D 1 P (p,X,·,·) (·) (pour p = w ρ (s, t) et
X = X(s, t)). On obtient
∂p
i
ρ
∂ρ
(X, Y ) −
∂p
i
ρ
∂ρ
(0, Y 0 )
≤ C
X Z
ρ
i Y 0
∂wρ
∂ρ
+ Z
ρ
i
∂w ρ
∂ρ
Y − Y 0
+ X
∂Z
ρ
i
∂ρ
Y 0 +
∂Z
ρ
i
∂ρ
Y − Y 0
.