13.5. DÉMONSTRATION DES DEUX LEMMES : LE DEUXIÈME
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Il suit que
∂
∂ρ
F ρ (X) = D 1 D 1
exp (wρ,X)
∂w ρ
∂ρ
,
∂w ρ
∂s
+ D 1
exp (wρ,X)
∂
2 w ρ
∂ρ∂s
+ D 1 D 2
exp (wρ,X)
∂w ρ
∂ρ
,
∂X
∂s
+ D 1
J
exp(wρ,X)
∂w ρ
∂ρ
, D 1
exp (wρ,X)
∂w ρ
∂t
+ D 1
J
exp(wρ,X)
∂w ρ
∂ρ
, D 2
exp (wρ,X)
∂X
∂t
+
J
exp(wρ,X)
D 1 D 1
exp (wρ,X)
∂w ρ
∂ρ
,
∂w ρ
∂t
+ D 1
exp (wρ,X)
∂
2 w ρ
∂ρ∂t
+ D 1 D 2
exp (wρ,X)
∂w ρ
∂ρ
,
∂X
∂t
+ (d grad H t )
exp(wρ,X)
D 1
exp (wρ,X)
∂w ρ
∂ρ
.
Nous fixons (s, t) ∈ R × S
1 et nous appliquons le lemme 13.2.3 à toutes
les applications linéaires A (p,X) (·) et bilinéaires B (p,X) (·, ·) qui apparaissent
dans cette formule. Ici p = w ρ (s, t) et X = X(s, t) et l’on a X(s, t) C 0 ≤ r 1 ,
ce qui permet d’utiliser le lemme 13.2.3. Au point (s, t) et pour la norme
euclidienne de R
m , on obtient l’estimation
∂
∂ρ
F ρ (X) −
∂
∂ρ
F ρ (0)
≤ C
X
∂w ρ
∂ρ
∂w ρ
∂s
+ X
∂
2 w ρ
∂ρ∂s
+
∂w ρ
∂ρ
∂X
∂s
+ X
∂w ρ
∂ρ
∂w ρ
∂t
+
∂w ρ
∂ρ
∂X
∂t
+ X
∂
2 w ρ
∂ρ∂t
+ X
∂w ρ
∂ρ
.
Comme toutes les dérivées de w ρ sont uniformément bornées par une
constante k > 0, on obtient encore
∂
∂ρ
F ρ (X) −
∂
∂ρ
F ρ (0)
≤ C
2k
2
X + 3k X + k
∂X
∂s
+ k
∂X
∂t
≤ C 1
X +
∂X
∂s
+
∂X
∂t
.
On fait varier (s, t) et on prend les normes L
p , on trouve
∂
∂ρ
F ρ (X) −
∂
∂ρ
F ρ (0)
L p
≤ C 1
X L p +
∂X
∂s
L p
+
∂X
∂t
L p
≤ 3C 1 X W 1,p .
– Vérifions les hypothèses pour ϕ ρ = (Id ×
F ρ ) ◦ i ρ . La condition (2) est
vérifiée par application du lemme 13.5.1 à la situation étudiée ci-dessus.