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CHAPITRE 13. LEMMES TECHNIQUES
Ce qui donne
∂i ρ
∂ρ
(Y ) −
∂i ρ
∂ρ
(0)
W 1,p
=
2n
i=1
y i
∂Z
ρ
i
∂ρ
W 1,p
≤
2n
i=1
y i
∂Z
ρ
i
∂ρ
W 1,p
≤
2n
i=1
y i W 1,p
∂Z
ρ
i
∂ρ
C 1
(toujours grâce au lemme 8.2.4). Maintenant le choix de Z
ρ
i (s, t) (voir
page 285) fait qu’il existe une constante C > 0 indépendante de ρ telle que,
pour tout i = 1, . . . , 2n,
∂Z i
∂ρ
C 1
≤ C.
On obtient donc
∂i ρ
∂ρ
(Y ) −
∂i ρ
∂ρ
(0)
W 1,p
≤ C
2n
i=1
y i W 1,p ≤ 2n C Y W 1,p .
La condition (4) est satisfaite puisque ∂i ρ /∂ρ(0) = 0.
– Vérifions maintenant la condition (3) pour ψ ρ = Id ×
F ρ . Remarquons
que, pour ϕ ρ = i ρ , on a ϕ ρ (0) = 0 et
ϕ ρ (z) ≤ ≤i ρ z ≤ C 1 r 0 .
Il suffira alors de démontrer que pour tout X ∈ B(0, C 1 r 0 ),
∂(Id ×
F ρ )
∂ρ
(X) −
∂(Id ×
F ρ )
∂ρ
(0)
L p
≤ k 6 X W 1,p ,
c’est-à-dire
∂
F ρ
∂ρ
(X) −
∂
F ρ
∂ρ
(0)
L p
≤ k 6 X W 1,p .
Rappelons que
F ρ (X) =
∂
∂s
+
J
∂
∂t
+ grad H t
exp wρ (X)
= D 1
exp (wρ,X)
∂w ρ
∂s
+ D 2
exp (wρ,X)
∂X
∂s
+
J
exp(wρ,X)
D 1
exp (wρ,X)
∂w ρ
∂t
+ D 2
exp (wρ,X)
∂X
∂t
+ grad H t ( exp(w ρ , X)).