13.5. DÉMONSTRATION DES DEUX LEMMES : LE DEUXIÈME
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Démonstration. Nous avons
∂
∂ρ
(ψ ρ ◦ ϕ ρ )(z) −
∂
∂ρ
(ψ ρ ◦ ϕ ρ )(0)
≤
∂ψ ρ
∂ρ
(ϕ ρ (z)) −
∂ψ ρ
∂ρ
(ϕ ρ (0))
+
(dψρ) ϕρ(z)
∂ϕ ρ
∂ρ
(z)
− (dψ ρ ) ϕρ(0)
∂ϕ ρ
∂ρ
(z)
≤ k 6 ϕ ρ (z) − ϕ ρ (0)
+
(dψ ρ ) ϕρ(z)
∂ϕ ρ
∂ρ
(z)
− (dψ ρ ) ϕρ(0)
∂ϕ ρ
∂ρ
(z)
+
(dψρ) ϕρ(0)
∂ϕ ρ
∂ρ
(z) −
∂ϕ ρ
∂ρ
(0)
≤ k 6 ϕ ρ (z) − ϕ ρ (0)
+ k 3 ϕ ρ (z) − ϕ ρ (0)
∂ϕ ρ
∂ρ
(z)
+ k 4
∂ϕ ρ
∂ρ
(z) −
∂ϕ ρ
∂ρ
(0)
≤ k 6 ϕ ρ (z) − ϕ ρ (0)
+ k 3 ϕ ρ (z) − ϕ ρ (0)
∂ϕ ρ
∂ρ
(z) −
∂ϕ ρ
∂ρ
(0)
+
∂ϕ ρ
∂ρ
(0)
+ k 4 k 5 z
≤ ≤ϕ ρ (z) − ϕ ρ (0) (k 6 + k 3 k 5 z + k 7 ) + k 4 k 5 z .
Puis
ϕ ρ (z) − ϕ ρ (0) ≤ sup
t∈[0,1]
(dϕ ρ ) tz z
≤ sup
t∈[0,1]
((dϕ ρ ) tz − (dϕ ρ ) 0 + (dϕ ρ ) 0 ) z
≤ (k 1 z + k 2 ) z
≤ (k 1 r 0 + k 2 ) z .
Ce qui achève la démonstration du lemme 13.5.1.
Nous allons l’appliquer à
– ϕ = i ρ et ψ = Id ×
F ρ ,
– ϕ = Id ×
F ρ et ψ = p ρ .
Vérifions donc que, dans les deux cas, les opérateurs satisfont aux hypothèses
du lemme 13.5.1.
– La condition (1) a déjà été vérifiée pour les besoins du lemme 9.4.8.
– Vérifions les conditions (2) et (4) pour ϕ ρ = i ρ . Nous avons i ρ (Y ) =
y i Z
ρ
i , donc
∂i ρ
∂ρ
(Y ) =
2n
i=1
y i
∂Z
ρ
i
∂ρ
, en particulier
∂i ρ
∂ρ
(0) = 0.