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CHAPITRE 13. LEMMES TECHNIQUES
L’hypothèse (3) est donc satisfaite, vérifions qu’il en est de même de (4).
Pour (s, t) fixé, on a
(dp
i
ρ ) (0,Y
ρ
0 ) (v, w)
=
(D 2 P ) (wρ,0,Z
ρ
i ,Y
ρ
0 ) (v) + P (w ρ , 0, Z
ρ
i , w)
≤ C (Z
ρ
i Y
ρ
0 v + Z
ρ
i w) .
Comme les normes de Z
ρ
i et de Y
ρ
0 sont uniformément bornées, on obtient
(dp
i
ρ ) (0,Y
ρ
0 ) (v, w)
≤ C (v + w) ,
inégalité à laquelle on applique la norme L
p pour obtenir
(dp
i
ρ ) (0,Y
ρ
0 ) (v, w)
L p ≤ C (v L p + w L p ) ≤ C (v, w) W 1,p ×L p .
Donc la condition (4) est remplie.
On peut donc, enfin, appliquer le lemme 13.4.1, qui donne,
pour y W 1,p ≤ r 0 , on a (dF ρ ) y − (dF ρ ) 0
op ≤ k y W 1,p .
Ce qui termine la démonstration du lemme 9.4.8.
13.5. Démonstration des deux lemmes : le deuxième
Démonstration du lemme 9.4.16. Le schéma de cette démonstration est le
même que celui de la démonstration du lemme 9.4.8 : on démontre un lemme
abstrait dont on montre ensuite que l’on peut l’appliquer à la composée
F ρ = p ρ ◦ (Id,
F ρ ) ◦ i ρ . Voici le lemme abstrait.
Lemme 13.5.1. Soient G, H et K des espaces de Banach et soient
ϕ ρ : G −→ H, ψ ρ : H −→ K
des opérateurs (non linéaires) de classe C
1 , différentiables en ρ ≥ ρ 0 . On
suppose qu’il existe r 0 > 0 et des constantes k i > 0 (pour i = 1, . . . , 7)
indépendantes de ρ tels que, pour tout z ∈ B(0, r 0 ) ⊂ G,
(1) les conditions du lemme 13.4.1 sont vérifiées par ϕ et ψ (avec les
constantes k 1 , . . . , k 4 ),
(2)
∂ϕ ρ
∂ρ
(z) −
∂ϕ ρ
∂ρ
(0)
≤ k 5 z,
(3)
∂ψ ρ
∂ρ
(ϕ ρ (z)) −
ψ ρ
∂ρ
(ϕ ρ (0))
≤ k 6 ϕ ρ (z) − ϕ ρ (0),
(4)
ϕ ρ
∂ρ
(0)
≤ k 7 .
Alors il existe M > 0 indépendant de ρ tel que, pour tout z ∈ B(0, r 0 ), on a
∂
∂ρ
(ψ ρ ◦ ϕ ρ )(z) −
∂
∂ρ
(ψ ρ ◦ ϕ ρ )(0)
≤ M z .
Et voici sa démonstration.
CHAPITRE 13. LEMMES TECHNIQUES
L’hypothèse (3) est donc satisfaite, vérifions qu’il en est de même de (4).
Pour (s, t) fixé, on a
(dp
i
ρ ) (0,Y
ρ
0 ) (v, w)
=
(D 2 P ) (wρ,0,Z
ρ
i ,Y
ρ
0 ) (v) + P (w ρ , 0, Z
ρ
i , w)
≤ C (Z
ρ
i Y
ρ
0 v + Z
ρ
i w) .
Comme les normes de Z
ρ
i et de Y
ρ
0 sont uniformément bornées, on obtient
(dp
i
ρ ) (0,Y
ρ
0 ) (v, w)
≤ C (v + w) ,
inégalité à laquelle on applique la norme L
p pour obtenir
(dp
i
ρ ) (0,Y
ρ
0 ) (v, w)
L p ≤ C (v L p + w L p ) ≤ C (v, w) W 1,p ×L p .
Donc la condition (4) est remplie.
On peut donc, enfin, appliquer le lemme 13.4.1, qui donne,
pour y W 1,p ≤ r 0 , on a (dF ρ ) y − (dF ρ ) 0
op ≤ k y W 1,p .
Ce qui termine la démonstration du lemme 9.4.8.
13.5. Démonstration des deux lemmes : le deuxième
Démonstration du lemme 9.4.16. Le schéma de cette démonstration est le
même que celui de la démonstration du lemme 9.4.8 : on démontre un lemme
abstrait dont on montre ensuite que l’on peut l’appliquer à la composée
F ρ = p ρ ◦ (Id,
F ρ ) ◦ i ρ . Voici le lemme abstrait.
Lemme 13.5.1. Soient G, H et K des espaces de Banach et soient
ϕ ρ : G −→ H, ψ ρ : H −→ K
des opérateurs (non linéaires) de classe C
1 , différentiables en ρ ≥ ρ 0 . On
suppose qu’il existe r 0 > 0 et des constantes k i > 0 (pour i = 1, . . . , 7)
indépendantes de ρ tels que, pour tout z ∈ B(0, r 0 ) ⊂ G,
(1) les conditions du lemme 13.4.1 sont vérifiées par ϕ et ψ (avec les
constantes k 1 , . . . , k 4 ),
(2)
∂ϕ ρ
∂ρ
(z) −
∂ϕ ρ
∂ρ
(0)
≤ k 5 z,
(3)
∂ψ ρ
∂ρ
(ϕ ρ (z)) −
ψ ρ
∂ρ
(ϕ ρ (0))
≤ k 6 ϕ ρ (z) − ϕ ρ (0),
(4)
ϕ ρ
∂ρ
(0)
≤ k 7 .
Alors il existe M > 0 indépendant de ρ tel que, pour tout z ∈ B(0, r 0 ), on a
∂
∂ρ
(ψ ρ ◦ ϕ ρ )(z) −
∂
∂ρ
(ψ ρ ◦ ϕ ρ )(0)
≤ M z .
Et voici sa démonstration.