13.4. DÉMONSTRATION DES DEUX LEMMES : LE PREMIER
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Démonstration. Il suffira bien entendu d’établir cette estimation pour
chacune des composantes p
i
ρ de p ρ . Rappelons que ϕ(0) = (0,
F ρ (0)) =
(0, F(w ρ )) et posons
Y
ρ
0 = F(w ρ ) ∈ L
p (R × S
1 ; R
m ) ∩ C
∞
0 (R × S
1 ; R
m ).
Pour (v, w) ∈ W
1,p (R × S
1 ; R
m ) × L
p (R × S
1 ; R
m ), on a
(dp
i
ρ ) (X,Y ) (v, w) = (D 2 P ) (wρ,X,Z i
ρ ,Y ) v + P (w ρ , X, Z
i
ρ , w).
Fixons (s, t) ∈ R × S
1 . En ce point, on a
(dp
i
ρ ) (X,Y ) (v, w) − (dp
i
ρ ) (0,Y
ρ
0 ) (v, w)
≤
(D 2 P ) (wρ,X,Z i
ρ ,Y ) v − (D 2 P ) (wρ,0,Z i
ρ ,Y
ρ
0 ) v
+
P (w ρ , X, Z
i
ρ , w) − P (w ρ , 0, Z
i
ρ , w)
.
On applique le lemme 13.2.3 à l’application bilinéaire P (p,X) (·, ·) et l’analogue (que nous n’avons pas eu le courage d’écrire) de ce lemme à l’application trilinéaire (D 2 P ) (p,X,·,·) (·) (ici, p = w ρ (s, t) et X = X(s, t)). On a
comme ci-dessus
X(s, t) ≤ r 1 pour tous (s, t) ∈ R × S
1
donc le lemme 13.2.3 s’applique et fournit une constante C > 0 indépendante
de (s, t). On obtient
(dp
i
ρ ) (X,Y ) (v, w) − (dp
i
ρ ) (0,Y
ρ
0 ) (v, w)
≤ C (Z
ρ
i Y − Y
ρ
0 v + X Z
ρ
i Y
ρ
0 v + X Z
ρ
i w) .
Par construction, Z
ρ
i est uniformément bornée (par rapport à ρ, s et t).
Aussi, Y
ρ
0 est uniformément bornée (puisque Y
ρ
0 (s, t) = 0 pour |s| ≥ 1 et
lim ρ→+∞ Y
ρ
0 (s, t) = 0 sur [−1, 1]). On trouve ainsi une constante positive
(toujours notée C) telle que
(dp
i
ρ ) (X,Y ) (v, w) − (dp
i
ρ ) (0,Y
ρ
0 ) (v, w)
≤ C (Y − Y
ρ
0 v + X v + X w) .
On fait ensuite varier (s, t), on prend les normes L
p des deux membres et
on majore le membre de droite en utilisant le lemme 13.2.2, ce qui donne
(dp
i
ρ ) (X,Y ) (v, w) − (dp
i
ρ ) (0,Y
ρ
0 ) (v, w)
L p
≤ Ck
Y − Y
ρ
0 L p v W 1,p + X W 1,p v L p + X W 1,p w L p
≤ Ck
X W 1,p + Y − Y
ρ
0 L p
(v W 1,p + w L p )
= Ck (X, Y ) − (0, Y
ρ
0 ) W 1,p ×L p (v, w) W 1,p ×L p .