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CHAPITRE 13. LEMMES TECHNIQUES
c’est-à-dire, enfin, l’hypothèse (3) du lemme 13.4.1. Mais il faut encore s’assurer que l’hypothèse (4) du même lemme est satisfaite, c’est-à-dire que
(d
F ρ ) 0
op ≤ k 4 pour un k 4 > 0 indépendant de ρ. En recopiant la formule
à quatre termes ci-dessus en y faisant X = 0, on obtient (pour (s, t) fixé)
(d
F ρ ) 0 (v)
=
(d
F) wρ (v)
=
∂v
∂s
+ D 1
J wρ
∂w ρ
∂t
, v
+
J wρ
∂v
∂t
+ (d grad H t ) wρ (v)
≤
∂v
∂s
+ C
∂w ρ
∂t
v + C
∂v
∂t
+ C v
pour une constante C > 0 indépendante de ρ. Toujours en utilisant le fait
que les dérivées partielles de w ρ sont uniformément bornées en (s, t) et en ρ,
on trouve une autre constante (toujours notée) C telle que
(d
F ρ ) 0 (v)
≤ C
v +
∂v
∂s
+
∂v
∂t
,
ce qui implique, en prenant les normes L
p des deux membres, que
(d
F ρ ) 0 (v)
L p ≤ 3C v W 1,p
(d
F ρ ) 0
op ≤ 3C,
et donc que
ce qui est bien la condition (4) du lemme 13.4.1. Après ces vérifications
longues, on peut donc appliquer ce lemme à ϕ = i ρ et ψ = Id
F ρ .
– On peut aussi l’appliquer à ϕ = (Id ×
F ρ ) ◦ i ρ : l’hypothèse (1) est le
résultat de l’application du même lemme 13.4.1 à ϕ = i ρ et ψ = (Id ×
F ρ ).
Enfin, on a
(dϕ) 0
op ≤
(d(Id ×
F ρ )) 0
op (di ρ ) 0
op ≤ k 2
compte tenu des vérifications que nous venons d’effectuer.
– Il reste à vérifier que les hypothèses sont satisfaites aussi pour ψ = p ρ ,
l’application
W
1,p (R × S
1 ; R
m ) × L
p (R × S
1 ; R
m ) −→ L
p (R × S
1 ; R
m )
définie par
(p ρ (X, Y )) i = P (w ρ , X, Z
ρ
i , Y ) pour i = 1, . . . , n
(P est l’application bilinéaire en les deux dernières composantes qui a été
définie plus haut). Pour vérifier l’hypothèse (3), il suffit de démontrer le
lemme :
Lemme 13.4.2. Pour tous X ∈ B(0, C 1 r 0 ) ⊂ W
1,p (R × S
1 ; R
m ), Y ∈
L
p (R × S
1 ; R
m ), on a
(dp ρ ) (X,Y ) − (dp ρ ) 0
op ≤ k 3 (X, Y ) − ϕ(0)
pour une constante k 3 > 0 indépendante de ρ.
CHAPITRE 13. LEMMES TECHNIQUES
c’est-à-dire, enfin, l’hypothèse (3) du lemme 13.4.1. Mais il faut encore s’assurer que l’hypothèse (4) du même lemme est satisfaite, c’est-à-dire que
(d
F ρ ) 0
op ≤ k 4 pour un k 4 > 0 indépendant de ρ. En recopiant la formule
à quatre termes ci-dessus en y faisant X = 0, on obtient (pour (s, t) fixé)
(d
F ρ ) 0 (v)
=
(d
F) wρ (v)
=
∂v
∂s
+ D 1
J wρ
∂w ρ
∂t
, v
+
J wρ
∂v
∂t
+ (d grad H t ) wρ (v)
≤
∂v
∂s
+ C
∂w ρ
∂t
v + C
∂v
∂t
+ C v
pour une constante C > 0 indépendante de ρ. Toujours en utilisant le fait
que les dérivées partielles de w ρ sont uniformément bornées en (s, t) et en ρ,
on trouve une autre constante (toujours notée) C telle que
(d
F ρ ) 0 (v)
≤ C
v +
∂v
∂s
+
∂v
∂t
,
ce qui implique, en prenant les normes L
p des deux membres, que
(d
F ρ ) 0 (v)
L p ≤ 3C v W 1,p
(d
F ρ ) 0
op ≤ 3C,
et donc que
ce qui est bien la condition (4) du lemme 13.4.1. Après ces vérifications
longues, on peut donc appliquer ce lemme à ϕ = i ρ et ψ = Id
F ρ .
– On peut aussi l’appliquer à ϕ = (Id ×
F ρ ) ◦ i ρ : l’hypothèse (1) est le
résultat de l’application du même lemme 13.4.1 à ϕ = i ρ et ψ = (Id ×
F ρ ).
Enfin, on a
(dϕ) 0
op ≤
(d(Id ×
F ρ )) 0
op (di ρ ) 0
op ≤ k 2
compte tenu des vérifications que nous venons d’effectuer.
– Il reste à vérifier que les hypothèses sont satisfaites aussi pour ψ = p ρ ,
l’application
W
1,p (R × S
1 ; R
m ) × L
p (R × S
1 ; R
m ) −→ L
p (R × S
1 ; R
m )
définie par
(p ρ (X, Y )) i = P (w ρ , X, Z
ρ
i , Y ) pour i = 1, . . . , n
(P est l’application bilinéaire en les deux dernières composantes qui a été
définie plus haut). Pour vérifier l’hypothèse (3), il suffit de démontrer le
lemme :
Lemme 13.4.2. Pour tous X ∈ B(0, C 1 r 0 ) ⊂ W
1,p (R × S
1 ; R
m ), Y ∈
L
p (R × S
1 ; R
m ), on a
(dp ρ ) (X,Y ) − (dp ρ ) 0
op ≤ k 3 (X, Y ) − ϕ(0)
pour une constante k 3 > 0 indépendante de ρ.