13.4. DÉMONSTRATION DES DEUX LEMMES : LE PREMIER
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On leur applique le lemme 13.2.3 afin d’évaluer la norme euclidienne
(d
F ρ ) X (v) − (d
F ρ ) 0 (v)
(s, t)
(à (s, t) fixé). Comme
X ∈ B(0, C 1 r 0 ) ⊂ W
1,p (R × S
1 ; R
m ),
on a, pour tous (s, t) ∈ R × S
1 ,
X(s, t) ≤ ≤X L ∞ ≤ k X W 1,p ≤ kC 1 r 0 = r 1 ,
ce qui fait que l’on peut utiliser le lemme 13.2.3 et que les constantes obtenues grâce à ce lemme ne dépendront pas de (s, t) (ce qui permet, dans ce
qui suit, d’omettre (s, t) des notations). On obtient donc
(d
F ρ ) X (v) − (d
F ρ ) 0 (v)
≤ C
X
∂w ρ
∂s
v +
∂X
∂s
v + X
∂v
∂s
terme 1
+ C
X v
∂w ρ
∂t
+ v
∂X
∂t
terme 2
+ C
X
∂w ρ
∂t
v +
∂X
∂t
v + X
∂v
∂t
terme 3
+ C X v .
terme 4
Mais les normes des dérivées partielles de w ρ par rapport à s et t sont uniformément bornées par rapport à (s, t) et par rapport à ρ, comme nous l’avons
remarqué. Donc il existe une constante (que nous appellerons toujours C)
telle que l’on ait, pour tous (s, t) ∈ R × S
1 et ρ ≥ ρ 0 ,
(d
F ρ ) X (v) − (d
F ρ ) 0 (v) ≤ C
X
∂v
∂s
+ X
∂v
∂t
+ C
X v +
∂X
∂s
v +
∂X
∂t
v
.
On fait maintenant varier (s, t) et on applique la norme les normes L
p .
En appliquant le lemme 13.2.2, on trouve
(d
F ρ ) X (v) − (d
F ρ ) 0 (v)
L p
≤ C
X
∂v
∂s
+ X
∂v
∂t
L p
+ C
X v +
∂X
∂s
v +
∂X
∂t
v
L p
≤ Ck v W 1,p
X L p +
∂X
∂s
L p
+
∂X
∂t
L p
+ Ck
∂v
∂s
L p
+
∂v
∂t
L p
X W 1,p
≤ 5Ck X W 1,p v W 1,p .
On en déduit que, pour tout X ∈ B(0, C 1 r 0 ) ⊂ W
1,p (R × S
1 ; R
m ),
(d
F ρ ) X − (d
F ρ ) 0
op ≤ 5Ck X W 1,p