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CHAPITRE 13. LEMMES TECHNIQUES
donc somme de quatre termes
(d
F ρ ) X (v) =
∂
∂s
D 2
exp (wρ,X) (v)
terme 1
+ D 1
J (
exp(wρ,X),
∂
∂t
exp(wρ,X))
(D 2
exp (wρ,X) (v))
terme 2
+
J
exp(w ρ , X),
∂
∂t
(D 2
exp (wρ,X) (v))
terme 3
+ (d grad H t ) (
exp(wρ,X))
(D 2
exp (wρ,X) (v)).
terme 4
Réécrivons chacun de ces quatre termes en développant les termes contenant
des ∂/∂s et ∂/∂t. Pour éclaircir les notations, écrivons
J p (·) pour
J(p, ·) et
D 1
J p (·, ·) pour D 1
J (p,·) (·) (ainsi les applications sont linéaires en chacun de
leurs arguments ·). Les quatre termes sont alors
terme 1 = D 1 D 2
exp (wρ,X)
∂w ρ
∂s
, v
+ D 2 D 2
exp (wρ,X)
∂X
∂s
, v
+ D 2
exp (wρ,X)
∂v
∂s
,
terme 2 = D 1
J
exp(wρ,X)
D 2
exp (wρ,X) (v), D 1
exp (wρ,X)
∂w ρ
∂t
+ D 1
J
exp(wρ,X)
D 2
exp (wρ,X) (v), D 2
exp (wρ,X)
∂X
∂t
,
terme 3 =
J
exp(wρ,X)
D 1 D 2
exp (wρ,X)
∂w ρ
∂t
, v
+ D 2 D 2
exp (wρ,X)
∂X
∂t
, v
+
J
exp(wρ,X)
D 2
exp (wρ,X)
∂v
∂t
,
terme 4 = (d grad H t )
exp(wρ,X)
(D 2
exp (wρ,X) (v)).
Malgré la longueur de cette formule, les conditions (3) et (4) se vérifient
assez simplement. On fixe (s, t) ∈ R × S
1 et on applique le lemme 13.2.3 à
des applications linéaire A(p, X, ·) ou bilinéaire B(p, X, ·, ·) pour p = w ρ (s, t)
et X = X(s, t). Les applications A et B sont celles qui apparaissent dans
les termes de la formule ci-dessus, à savoir
– les applications linéaires
• D 2
exp (p,X) (·), d’abord,
•
J
exp(p,X)
D 2
exp (p,X) (·)
, ensuite,
• et (d grad H t )
exp(p,X)
(D 2
exp (p,X) (·) enfin ;
– les applications bilinéaires
• D i D 2
exp (p,X) (·, ·),
• ainsi que D 1
J
exp(p,X)
(D 2
exp (p,X) (·), D i
exp (p,X) (·))
• et
J
exp(p,X)
D i D 2
exp (p,X) (·, ·)
(pour i = 1, 2).