13.4. DÉMONSTRATION DES DEUX LEMMES : LE PREMIER
441
On en déduit donc que
(dψ ◦ ϕ) Z (v) − (dψ ◦ ϕ) 0 (v) ≤ k 3 (k 1 Z + k 2 )
2
Z v + k 4 k 1 Z v
≤ (k 3 (k 1 r 0 + k 2 )
2 + k 4 k 1 ) Z v ,
ce que nous voulions démontrer.
Pour achever la démonstration du lemme 9.4.8, il suffira d’appliquer ce
lemme,
– d’abord à ϕ = i ρ , ψ = Id ×
F ρ ,
– puis à ϕ = (Id ×
F ρ )i ρ , ψ = p ρ ...
à condition de vérifier que ces opérateurs ϕ, ψ satisfont aux hypothèses
requises (pour des constantes indépendantes de ρ). Montrons donc que c’est
en effet le cas.
– Pour ϕ = i ρ . Cette application est linéaire, donc égale à sa dérivée,
(di ρ ) Z = i ρ , et donc aussi (di ρ ) Z − (di ρ ) 0 = 0, donc l’hypothèse (1) est
satisfaite. Nous avons vu aussi que i ρ
op ≤ C 1 pour une constante C 1
indépendante de ρ, donc (2) est vérifiée.
– Pour ψ = Id ×
F ρ . Comme ϕ(0) = i ρ (0) = 0, il suffira de vérifier que
pour tout X ∈ i ρ (B(0, r 0 )) ⊂ B(0, C 1 r 0 ), on a
(dψ) X − (dψ) 0
op ≤ k 3 X et (dψ) X
op ≤ k 4
(pour des constantes k 3 et k 4 indépendantes de ρ). On a aussi
(d(Id ×
F ρ )) X − (d(Id ×
F ρ )) 0
op = (d
F ρ ) X − (d
F ρ ) 0
et encore
(d(Id ×
F ρ )) 0
op
≤ 1 + (d
F ρ ) 0
op .
Il suffit donc de vérifier que les hypothèses (3) et (4) sont satisfaites par
ψ =
F ρ . Rappelons donc que
F ρ (X) =
∂
∂s
+
J
∂
∂t
+ grad H t
exp(w ρ , X) =
F( exp(w ρ , X))
et donc que
(d
F ρ ) X (v) = (d
F)
exp(wρ,X)
(D 2
exp (wρ,X) (v)).
Le calcul de (d
F) u (pour u =
exp(w ρ , X)) est identique à celui effectué
au § 8.4 et donne
(d
F) u (Y ) =
∂Y
∂s
+ D 1
J (u,∂u/∂t) (Y ) +
J
u,
∂u
∂t
+ (d grad H) u (Y )
(rappelons que
J est le prolongement de J à W × R
m défini plus haut,
linéaire donc par rapport à la deuxième variable). La dérivée (d
F ρ ) X (v) est
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On en déduit donc que
(dψ ◦ ϕ) Z (v) − (dψ ◦ ϕ) 0 (v) ≤ k 3 (k 1 Z + k 2 )
2
Z v + k 4 k 1 Z v
≤ (k 3 (k 1 r 0 + k 2 )
2 + k 4 k 1 ) Z v ,
ce que nous voulions démontrer.
Pour achever la démonstration du lemme 9.4.8, il suffira d’appliquer ce
lemme,
– d’abord à ϕ = i ρ , ψ = Id ×
F ρ ,
– puis à ϕ = (Id ×
F ρ )i ρ , ψ = p ρ ...
à condition de vérifier que ces opérateurs ϕ, ψ satisfont aux hypothèses
requises (pour des constantes indépendantes de ρ). Montrons donc que c’est
en effet le cas.
– Pour ϕ = i ρ . Cette application est linéaire, donc égale à sa dérivée,
(di ρ ) Z = i ρ , et donc aussi (di ρ ) Z − (di ρ ) 0 = 0, donc l’hypothèse (1) est
satisfaite. Nous avons vu aussi que i ρ
op ≤ C 1 pour une constante C 1
indépendante de ρ, donc (2) est vérifiée.
– Pour ψ = Id ×
F ρ . Comme ϕ(0) = i ρ (0) = 0, il suffira de vérifier que
pour tout X ∈ i ρ (B(0, r 0 )) ⊂ B(0, C 1 r 0 ), on a
(dψ) X − (dψ) 0
op ≤ k 3 X et (dψ) X
op ≤ k 4
(pour des constantes k 3 et k 4 indépendantes de ρ). On a aussi
(d(Id ×
F ρ )) X − (d(Id ×
F ρ )) 0
op = (d
F ρ ) X − (d
F ρ ) 0
et encore
(d(Id ×
F ρ )) 0
op
≤ 1 + (d
F ρ ) 0
op .
Il suffit donc de vérifier que les hypothèses (3) et (4) sont satisfaites par
ψ =
F ρ . Rappelons donc que
F ρ (X) =
∂
∂s
+
J
∂
∂t
+ grad H t
exp(w ρ , X) =
F( exp(w ρ , X))
et donc que
(d
F ρ ) X (v) = (d
F)
exp(wρ,X)
(D 2
exp (wρ,X) (v)).
Le calcul de (d
F) u (pour u =
exp(w ρ , X)) est identique à celui effectué
au § 8.4 et donne
(d
F) u (Y ) =
∂Y
∂s
+ D 1
J (u,∂u/∂t) (Y ) +
J
u,
∂u
∂t
+ (d grad H) u (Y )
(rappelons que
J est le prolongement de J à W × R
m défini plus haut,
linéaire donc par rapport à la deuxième variable). La dérivée (d
F ρ ) X (v) est