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CHAPITRE 13. LEMMES TECHNIQUES
13.4. Démonstration des deux lemmes : le premier
Démontrons enfin les deux lemmes en vue.
Démonstration du lemme 9.4.8. Pour appliquer la formule précédente, on a
besoin d’un résultat qui permette d’affirmer que la propriété énoncée dans
l’énoncé 9.4.8 est stable par composition des opérateurs. C’est ce que fait le
lemme suivant, dans lequel ϕ et ψ désignent des applications entre espaces
de Banach, pas forcément linéaires mais différentiables (nous désignerons
souvent ce genre d’objet par le mot « opérateur »).
Lemme 13.4.1. Soient G, H et K des espaces de Banach, ϕ : G → H et
ψ : H → K des applications différentiables. On suppose qu’il existe r 0 > 0
et k i > 0 (pour i = 1, . . . , 4) tels que
(1) pour tout Z ∈ B(0, r 0 ) ⊂ G, (dϕ) Z − (dϕ) 0
op ≤ k 1 Z,
(2) (dϕ) 0
op ≤ k 2 ,
(3) pour tout Z ∈ B(0, r 0 ) ⊂ G,
(dψ) ϕ(Z) − (dψ)
op
ϕ(0)
≤ k 3 ϕ(Z) − ϕ(0) ,
(4)
(dψ) ϕ(0)
op ≤ k 4 .
Alors il existe k > 0 dépendant uniquement des k i et de r 0 , tel que l’on ait,
pour tout Z ∈ B(0, r 0 ),
(dψ) Z ◦ ϕ − (dψ) 0 ◦ ϕ
op ≤ k Z .
Nous allons appliquer ce lemme à des opérateurs ϕ et ψ qui dépendent
du paramètre ρ, c’est pourquoi nous avons fait figurer les conditions sur
les normes opératorielles des différentielles de ces opérateurs dans les hypothèses : on voudra obtenir une constante k qui ne dépend pas de ρ.
Démonstration. Soit v ∈ G. On a
(d(ψϕ)) Z (v) − (d(ψϕ)) 0 (v) =
(dψ) ϕ(Z) ((dϕ) Z (v)) − (dψ) ϕ(0) ((dϕ) 0 (v))
≤
(dψ) ϕ(Z) ((dϕ) Z (v)) − (dψ) ϕ(0) ((dϕ) Z (v))
+
(dψ) ϕ(0) ((dϕ) Z (v)) − (dϕ) 0 (v))
≤ k 3 ϕ(Z) − ϕ(0) (dϕ) Z (v) +
(dψ) ϕ(0)
(dϕ) Z (v) − (dϕ) 0 (v)
≤ k 3 sup
r∈[0,1]
(dϕ) rZ Z (dϕ) Z v + k 4 k 1 Z v .
Pour tout r ∈ [0, 1],
(dϕ) rZ ≤ ≤(dϕ) rZ − (dϕ) 0 + (dϕ) 0
≤ k 1 r Z + k 2 ≤ k 1 Z + k 2 .