13.3. L’OPÉRATEUR
Fρ
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Remarque 13.3.2. Le fait, annoncé au § 8.2.d, que F(exp w X) est bien
dans L
p , est ainsi vérifié.
Pour achever la construction du diagramme commutatif annoncé, il reste
à définir l’application p ρ . Rappelons que la j-ème composante de F ρ (y) est
définie à l’aide du transport parallèle par
(F ρ (y)) j = g(F ρ (Y ), Z
ρ,Y
j
)
où Y =
2n
i=1 y i Z
ρ
i et Z
ρ,Y
j
est le résultat du transport parallèle de Z
ρ
j le
long du chemin géodésique r → exp wρ (rY ). On peut considérer ce transport
parallèle comme une application
T : T W ⊕ T W −→ T W
qui, à p ∈ W , Y , Z ∈ T p W , associe T p (Y, Z), le transport parallèle de Z le
long de r → exp p (rY ). Comme on l’a fait ci-dessus pour la métrique g, on
prolonge T en
T : W × R
m
× R
m
−→ R
m
(p, Y, Z) −→ T p (π p (Y ), π p (Z)).
On en déduit une application
P : W × R
m
× R
m
× R
m
−→ R
(p, X, Y, Z) −→
g p (
T(X, Z), Y )
qui est linéaire en Y et Z et qui, pour X = 0 est simplement
P (p, 0, Z, Y ) =
g p (Z, Y ).
Nous pouvons enfin définir
p ρ : W
1,p (R × S
1 ; R
m ) × L
p (R × S
1 ; R
m ) −→ L
p (R × S
1 ; R
2n )
par (pour j = 1, . . . , 2n)
(p ρ (X, Y )) j = P (w ρ , X, Z
ρ
j , Y ) =
g wρ (
T(X, Z
ρ
j ), Y ).
Par construction des Z
ρ
j , on a
sup
s,t
Z
ρ
j (s, t)
< +∞.
Comme X est dans W
1,p , on a sup s,t X(s, t) < +∞. Enfin, comme
T est
de classe C
∞ , en application des lemmes 8.2.4 et 13.2.3, on a
p ρ (X, Y ) ≤ C Z · ·Y L p
p ρ (X, Y ) ∈ L
p (R × S
1 ; R
2n ).
et donc
Enfin on a clairement F ρ (y) = p ρ (i ρ (y),
F ρ (i ρ (y))), comme on le souhaitait.