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CHAPITRE 13. LEMMES TECHNIQUES
Démonstration. On a
F ρ (0) = F ρ (0) = F(w ρ ) ∈ L
p (R × S
1 ; R
m )
puisque F(w ρ )(s, t) est identiquement nulle pour |s| ≥ 1 (w ρ est de classe C
∞
et coïncide avec u ou v qui sont des solutions de l’équation de Floer). Il suffit
donc de montrer que
F ρ (X) −
F ρ (0) ∈ L
p (R × S
1 ; R
m ).
On a
F ρ (X) =
∂
∂s
exp(w ρ , X) +
J
exp(wρ,X)
∂
∂t
exp(w ρ , X) + grad H t ( exp(w ρ , X))
= D 1
exp (wρ,X)
∂w ρ
∂s
+ D 2
exp (wρ,X)
∂X
∂s
+
J
exp(wρ,X)
·
D 1
exp (wρ,X)
∂w ρ
∂t
+ D 2
exp (wρ,X)
∂X
∂t
+ grad H t ( exp(w ρ , X)).
Comme X ∈ W
1,p (R × S
1 ; R
m ) a été choisi continu, on a aussi
X ∈ L
∞ (R × S
1 ; R
m ),
donc il existe r 1 > 0 tel que X(s, t) ≤ r 1 pour tous (s, t) ∈ R × S
1 .
Fixons un couple (s, t) et appliquons le lemme 13.2.3 (et plus précisément
son point (3)) successivement lorsque A(p, X)(·) est l’une des applications
– d’abord D 1
exp (p,X) (·),
– puis D 2
exp (p,X) (·),
– puis encore
J
exp(p,X)
D 1
exp (p,X) (·),
– et enfin
J
exp(p,X
D 2
exp (p,X) (·) (avec ici p = w ρ (s, t) et X = X(s, t)).
Toujours en application du lemme 13.2.3, on a aussi
grad H t
exp(p, X) − grad H t
exp(p, 0)
≤ sup
r∈[0,1]
d rX grad H t ◦
exp X ≤ C X .
On obtient finalement, en calculant en (s, t) fixé
F ρ (X) −
F ρ (0) ≤ C
X
∂w ρ
∂s
+
∂X
∂s
+ X
∂w ρ
∂t
+
∂X
∂t
+ X
≤ k
X(s, t) +
∂X
∂s
(s, t)
+
∂X
∂t
(s, t)
puisque les normes de ∂w ρ /∂s et ∂w ρ /∂t sont uniformément bornées (ceci
grâce à la décroissance exponentielle de u et v). On a finalement
F ρ (X)−
F ρ (0) L p ≤ 3k X W 1,p < +∞ et
F ρ (X) ∈ L
p (R×S
1 ; R
m ).