13.3. L’OPÉRATEUR
Fρ
437
Définissons maintenant
F ρ . En considérant T W comme un sous-fibré de
T W R
m , on voit T wρ P
1,p (x, z) comme un sous-espace de W
1,p (R × S
1 ; R
m ).
Nous allons définir l’opérateur
F ρ comme un prolongement de F ρ à l’espace
W
1,p (R × S
1 ; R
m ). Rappelons que nous utilisons les notations énumérées
au début du chapitre 8. La variété symplectique W est donc munie d’une
structure presque complexe J compatible avec la forme symplectique ω et
de la métrique g que ces deux structures définissent. Comme toujours, W est
plongée dans un espace R
m (pour m assez grand) et T W R
m la restriction
de T R
m à W , isomorphe au fibré trivial W × R
m . Nous avons prolongé le
produit scalaire défini sur T W par la métrique g en un produit scalaire
g
sur T W R
m . L’application exponentielle est une application C
∞
exp : T W −→ W
qui vérifie (voir au besoin le § 14.5)
exp(p, 0) = exp p (0) = p
(d exp p ) 0 : T 0 (T p W ) ∼ = T p W → W est l’identité.
Notons
π p : R
m = T p R
m
−→ T p W
la projection orthogonale et définissons l’application
exp : W × R
m
−→ W
(p, X) −→ exp p (π p (X)).
C’est une application C
∞ qui prolonge l’exponentielle (définie sur T W )
au fibré T W R
m . Prolongeons également la structure presque complexe J :
T W → T W en
J : T W R
m
→ T W R
m par
J p (X) = J p (π p (X)).
On peut enfin définir
F ρ :
F ρ (X) =
∂
∂s
+
J
∂
∂t
+ grad H t
exp(w ρ , X) =
F ◦
exp(w ρ , X).
Il est clair que
F ρ est un prolongement de F ρ . Il est vrai aussi, même si c’est
un peu moins clair, que
F ρ (X) ∈ L
p (R × S
1 ; R
m ), et donc que
F ρ (X) ∈ L
p (R × S
1 ; T W ).
C’est ce qu’affirme le lemme :
Lemme 13.3.1. Si X ∈ W
1,p (R × S
1 ; R
m ), alors
F ρ (X) ∈ L
p (R × S
1 ; R
m ).
Fρ
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Définissons maintenant
F ρ . En considérant T W comme un sous-fibré de
T W R
m , on voit T wρ P
1,p (x, z) comme un sous-espace de W
1,p (R × S
1 ; R
m ).
Nous allons définir l’opérateur
F ρ comme un prolongement de F ρ à l’espace
W
1,p (R × S
1 ; R
m ). Rappelons que nous utilisons les notations énumérées
au début du chapitre 8. La variété symplectique W est donc munie d’une
structure presque complexe J compatible avec la forme symplectique ω et
de la métrique g que ces deux structures définissent. Comme toujours, W est
plongée dans un espace R
m (pour m assez grand) et T W R
m la restriction
de T R
m à W , isomorphe au fibré trivial W × R
m . Nous avons prolongé le
produit scalaire défini sur T W par la métrique g en un produit scalaire
g
sur T W R
m . L’application exponentielle est une application C
∞
exp : T W −→ W
qui vérifie (voir au besoin le § 14.5)
exp(p, 0) = exp p (0) = p
(d exp p ) 0 : T 0 (T p W ) ∼ = T p W → W est l’identité.
Notons
π p : R
m = T p R
m
−→ T p W
la projection orthogonale et définissons l’application
exp : W × R
m
−→ W
(p, X) −→ exp p (π p (X)).
C’est une application C
∞ qui prolonge l’exponentielle (définie sur T W )
au fibré T W R
m . Prolongeons également la structure presque complexe J :
T W → T W en
J : T W R
m
→ T W R
m par
J p (X) = J p (π p (X)).
On peut enfin définir
F ρ :
F ρ (X) =
∂
∂s
+
J
∂
∂t
+ grad H t
exp(w ρ , X) =
F ◦
exp(w ρ , X).
Il est clair que
F ρ est un prolongement de F ρ . Il est vrai aussi, même si c’est
un peu moins clair, que
F ρ (X) ∈ L
p (R × S
1 ; R
m ), et donc que
F ρ (X) ∈ L
p (R × S
1 ; T W ).
C’est ce qu’affirme le lemme :
Lemme 13.3.1. Si X ∈ W
1,p (R × S
1 ; R
m ), alors
F ρ (X) ∈ L
p (R × S
1 ; R
m ).