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CHAPITRE 13. LEMMES TECHNIQUES
(4) On écrit
B(p, X, v, Y 2 ) − B(p, 0, v, Y 1 )
≤ ≤B(p, X, v, Y 2 − Y 1 ) + B(p, X, v, Y 1 ) − B(p, 0, v, Y 1 )
et on procède comme au (2).
13.3. L’opérateur
F ρ
Nous voulons construire un diagramme commutatif
W
1,p (R × S
1 ; R
2n )
i ρ
F ρ
/ / L
p (R × S
1 ; R
2n )
W
1,p (R × S
1 ; R
m )
(Id,
F ρ )
/ / W
1,p (R × S
1 ; R
m ) × L
p (R × S
1 ; R
m )
p ρ
O O
c’est-à-dire écrire, dans un but de simplification des calculs,
F ρ (y) = p ρ (i ρ (y),
F ρ (i ρ (y)))
pour certaines applications à définir i ρ , p ρ ,
F ρ .
Commençons par définir i ρ , par
i ρ (y) =
2n
i=1
y i Z
ρ
i .
C’est un opérateur linéaire, dont il est aisé d’évaluer la norme :
i ρ (y) W 1,p =
y i Z
ρ
i
W 1,p
≤
y i Z
ρ
i W 1,p
≤
y i W 1,p Z
ρ
i C 1 (on a appliqué le lemme 8.2.4)
≤ sup
i
Z
ρ
i C 1
y i W 1,p ≤ 2n sup
i
Z
ρ
i C 1 y W 1,p
= M y W 1,p
puisqu’en effet le choix de Z
ρ
i fait que sup i Z
ρ
i < ∞ :
– sur [−1, 1] × S
1 , par compacité,
– sur {|s| ≥ 1} × S
1 , la norme C
1 de Z
ρ
i est majorée par la plus grande
des deux normes Z
u
i C 1 et Z
v
i C 1 .
Remarquons que ce dernier majorant (pour |s| ≥ 1) est indépendant de ρ.
On peut aussi utiliser un majorant indépendant de ρ sur s ∈ [−1, 1] car Z
ρ
i
est défini et lisse sur le compact [ρ 0 , +∞] × [−1, 1] × S
1 .
Finalement, on a bien défini un opérateur i ρ , linéaire continu de norme
opératorielle bornée par une constante C 1 indépendante de ρ.