13.2. LES DEUX LEMMES SUR dF
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qui est telle que h ∞ ≤ K h W 1,p pour une certaine constante K > 0. On
en déduit
R×S 1
|fg|
p
1/p
≤
R×S 1
|f |
p g
p
∞
1/p
≤ ≤g ∞ f L p ≤ K f L p g W 1,p .
Lemme 13.2.3. Soient W une variété compacte et
A : W × R
m
× R
m
−→ R
m ,
B : W × R
m
× R
m
× R
m
−→ R
m
deux applications C
∞ . On suppose que, pour tous p ∈ W et X ∈ R
m ,
A(p, X, ·) est linéaire et B(p, X, ·, ·) bilinéaire. Pour tout r 1 > 0, il existe
une constante C > 0 telle que, pour tous p ∈ W et X ∈ B(0, r 1 ) ⊂ R
m , on
ait
(1) pour tout v ∈ R
m , A(p, X, v) ≤ C v ;
(2) pour tous v 1 , v 2 ∈ R
m ,
A(p, X, v 2 ) − A(p, 0, v 1 ) ≤ C (X v 1 + v 2 − v 1 ) ;
(3) pour tous v, Y ∈ R
m , B(p, X, v, Y ) ≤ C v Y ;
(4) pour tous v, Y 1 , Y 2 ∈ R
m ,
B(p, X, v, Y 2 ) − B(p, 0, v, Y 1 ) ≤ C (X v Y 1 + v Y 2 − Y 1 ) .
Démonstration. Elle est directe et élémentaire.
(1) On considère A comme une application
A : W × R
m
−→ L(R
m ; R
m ).
Comme elle est continue, l’image du compact W × B(0, r 1 ) est compacte,
donc bornée pour la norme opératorielle, ce qui démontre la première inégalité.
(2) Grâce au fait que A est de classe C
1 , on a
A(p, X) − A(p, 0)
op ≤ sup
t∈[0,1]
(dA) p,tX X ≤ C X .
On en déduit
A(p, X, v 2 ) − A(p, 0, v 1 ) ≤ ≤A(p, X, v 2 − v 1 ) + A(p, X, v 1 ) − A(p, 0, v 1 )
≤ C v 2 − v 1 + A(p, X) − A(p, 0)
op v 1
on a utilisé le point (1)
≤ C v 2 − v 1 + C X v 1 .
(3) On considère B comme une application de W × R
m dans les applications bilinéaires sur R
m et on procède comme au (1).