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CHAPITRE 13. LEMMES TECHNIQUES
Ainsi F ρ (X) est un champ de vecteurs tangents à W le long de exp wρ (X),
qui est dans L
p (R × S
1 ; R
m ) via l’application ci-dessus. Pour définir F ρ ,
on utilise les trivialisations décrites au § 9.4 (et schématisées sur la figure 5
du chapitre 9), pour vérifier qu’elle est bien définie, il suffit d’appliquer le
lemme 8.2.4 pour affirmer que
– si y ∈ W
1,p (R × S
1 ; R
2n ), alors
y i Z
ρ
i ∈ T wρ P
1,p (x, z) et
– si Y ∈ L
p (R × S
1 ; T W ), alors (g(Y, Z
ρ,x
j )) j ∈ L
p (R × S
1 ; R
2n ).
13.2. Les deux lemmes sur dF
Nous voulons démontrer les deux lemmes :
Lemme (lemme 9.4.8). Soit r 0 > 0. Il existe une constante K > 0 telle que,
pour tout ρ ≥ ρ 0 et pour tout Z ∈ B(0, r 0 ) ⊂ W
1,p (R × S
1 ; R
2n ), on ait
(dF ρ ) Z − (dF ρ ) 0
op ≤ K Z W 1,p .
Lemme (lemme 9.4.16). Soit r 0 > 0. Il existe une constante M > 0 (indépendante de ρ) telle que pour tout ρ ≥ ρ 0 et tout Z ∈ B(0, r 0 ) ⊂
W
1,p (R × S
1 ; R
2n ), on ait
∂F
∂ρ
(ρ, Z) −
∂F
∂ρ
(ρ, 0)
L p
≤ M Z W 1,p .
Remarque 13.2.1. Dans l’énoncé du lemme 9.4.8, ··
op désigne la norme opératorielle. Une assertion qui implique les deux lemmes est que F est de classe
C
2 et que la norme opératorielle
d
2 F
op est bornée sur [ρ 0 , +∞[ ×B(0, r 0 ).
Nous commençons par quelques résultats élémentaires que nous utiliserons dans la démonstration. Il y a d’abord le lemme 8.2.4 (celui qui affirme
que le produit d’une fonction W
1,p par une fonction C
∞ bornée est une fonction W
1,p ). De même nature est le premier des deux lemmes qui suivent.
Lemme 13.2.2. Soit p > 2 et soient f et g deux éléments de W
1,p (R×S
1 ; R).
Il existe une constante K > 0 telle que
fg L p ≤ K f L p g W 1,p .
Démonstration. Le fait que p soit supérieur à 2 permet d’utiliser l’injection
continue
W
1,p (R × S
1 ; R) −→ L
∞ (R × S
1 ; R)
CHAPITRE 13. LEMMES TECHNIQUES
Ainsi F ρ (X) est un champ de vecteurs tangents à W le long de exp wρ (X),
qui est dans L
p (R × S
1 ; R
m ) via l’application ci-dessus. Pour définir F ρ ,
on utilise les trivialisations décrites au § 9.4 (et schématisées sur la figure 5
du chapitre 9), pour vérifier qu’elle est bien définie, il suffit d’appliquer le
lemme 8.2.4 pour affirmer que
– si y ∈ W
1,p (R × S
1 ; R
2n ), alors
y i Z
ρ
i ∈ T wρ P
1,p (x, z) et
– si Y ∈ L
p (R × S
1 ; T W ), alors (g(Y, Z
ρ,x
j )) j ∈ L
p (R × S
1 ; R
2n ).
13.2. Les deux lemmes sur dF
Nous voulons démontrer les deux lemmes :
Lemme (lemme 9.4.8). Soit r 0 > 0. Il existe une constante K > 0 telle que,
pour tout ρ ≥ ρ 0 et pour tout Z ∈ B(0, r 0 ) ⊂ W
1,p (R × S
1 ; R
2n ), on ait
(dF ρ ) Z − (dF ρ ) 0
op ≤ K Z W 1,p .
Lemme (lemme 9.4.16). Soit r 0 > 0. Il existe une constante M > 0 (indépendante de ρ) telle que pour tout ρ ≥ ρ 0 et tout Z ∈ B(0, r 0 ) ⊂
W
1,p (R × S
1 ; R
2n ), on ait
∂F
∂ρ
(ρ, Z) −
∂F
∂ρ
(ρ, 0)
L p
≤ M Z W 1,p .
Remarque 13.2.1. Dans l’énoncé du lemme 9.4.8, ··
op désigne la norme opératorielle. Une assertion qui implique les deux lemmes est que F est de classe
C
2 et que la norme opératorielle
d
2 F
op est bornée sur [ρ 0 , +∞[ ×B(0, r 0 ).
Nous commençons par quelques résultats élémentaires que nous utiliserons dans la démonstration. Il y a d’abord le lemme 8.2.4 (celui qui affirme
que le produit d’une fonction W
1,p par une fonction C
∞ bornée est une fonction W
1,p ). De même nature est le premier des deux lemmes qui suivent.
Lemme 13.2.2. Soit p > 2 et soient f et g deux éléments de W
1,p (R×S
1 ; R).
Il existe une constante K > 0 telle que
fg L p ≤ K f L p g W 1,p .
Démonstration. Le fait que p soit supérieur à 2 permet d’utiliser l’injection
continue
W
1,p (R × S
1 ; R) −→ L
∞ (R × S
1 ; R)