CHAPITRE 13
LES LEMMES SUR LA DÉRIVÉE SECONDE
DE L’OPÉRATEUR DE FLOER
ET AUTRES TECHNICITÉS
Dans ce chapitre, nous démontrons un certain nombre de résultats techniques utilisés dans ce texte. Si tous ces détails font ici l’objet d’une description précise, c’est qu’ils ne manqueront pas d’éclairer certains passages
complexes, mais essentiels, de chapitres précédents
(1) .
13.1. Versions de l’opérateur de Floer
Pour ce chapitre technique, nous ferons une distinction dans les notations
entre l’opérateur
F ρ : T wρ P
1,p (x, z) −→ L
p (R × S
1 ; T W )
défini par
F ρ (X) = F(exp wρ (X)) =
∂
∂s
+ J
∂
∂t
+ grad H
(exp wρ (X))
et le même opérateur, écrit dans les trivialisations, que nous noterons
F ρ : W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) −→ L
p (R × S
1 ; R
2n ).
Nous utiliserons aussi l’opérateur (non linéaire) défini au § 9.4 pour ρ ≥ ρ 0 et
F : [ρ 0 , +∞[ × W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) −→ L
p (R × S
1 ; R
2n )
est défini par F (ρ, Y ) = F ρ (Y ). Rappelons que F ρ est l’opérateur F ρ , après
trivialisation.
La source de F ρ est formée des champs de vecteurs tangents à W le long
de w ρ qui sont dans W
1,p (R × S
1 ; R
m ), via la composition
R × S
1
−→ T W W−→ T W R
m pr 2
− −−− → R
m .
(1) D’après [45, Chap. lxiii].