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CHAPITRE 12. RÉGULARITÉ ELLIPTIQUE
Par l’hypothèse de récurrence, u ∈ W
k+1,p
loc
(R × S
1 ; R
2n ). Nous voulons
montrer que u ∈ W
k+2,p (R × S
1 ; R
2n ), nommons ses dérivées comme cidessus,
v =
∂u
∂s
et w =
∂u
∂t
.
Nous avons vu que v satisfait à
∂v
∂s
+
J
∂v
∂t
+
∂
J
∂s
·
∂u
∂t
+
∂h
∂s
= 0.
Pour pouvoir lui appliquer l’hypothèse de récurrence, il nous faut savoir que
∂
J
∂s
·
∂u
∂t
∈ W
k,p
loc (R × S
1 ).
Nous obtiendrons ceci à partir d’un résultat plus général :
Lemme 12.4.4. Soient p > 2 et k ≥ 1. Si f et g ∈ W
k,p
loc (R × S
1 ; R), alors
fg ∈ W
k,p
loc (R ×S
1 ; R) et, pour tout ouvert relativement compact V , il existe
une constante K > 0 telle que
fg W k,p (V ) ≤ K f W k,p (V ) g W k,p (V ) .
Démonstration. C’est au fond une conséquence de la règle de Leibniz. Soit V
un ouvert relativement compact. On procède par récurrence. Soit donc k = 1
pour commencer. On utilise l’injection continue W
1,p (V ) ⊂ L
∞ (V ). On a
fg L p (V ) ≤ ≤f L p (V ) g L ∞ (V )
≤ K 1 f L p (V ) g W 1,p (V )
≤ K 1 f W 1,p (V ) g W 1,p (V ) ,
∂(fg)
∂s
L p (V )
≤
∂f
∂s
g
L p (V )
+
f
∂g
∂s
L p (V )
≤
∂f
∂s
L p (V )
g L ∞ (V ) +
∂g
∂s
L p (V )
f L ∞ (V )
≤ K 2 f W 1,p (V ) g W 1,p (V ) ,
une inégalité analogue étant vraie pour la dérivée de fg par rapport à t. Le
cas k = 1 est ainsi démontré. Supposons l’énoncé vrai pour k. Nous avons
∂(fg)
∂s
W k,p (V )
≤
∂f
∂s
g
W k,p (V )
+
f
∂g
∂s
W k,p (V )
≤ K 3
∂f
∂s
W k,p (V )
g W k,p (V ) + K 4 f W k,p (V )
∂g
∂s
W k,p (V )
≤ K f W k+1,p (V ) g W k+1,p (V )