12.4. RÉGULARITÉ NON LINÉAIRE, DÉMONSTRATIONS
431
en utilisant l’hypothèse de récurrence. L’inégalité analogue est vraie pour
la dérivée par rapport à t. Donc
fg W k+1,p (V ) ≤ K f W k+1,p (V ) g W k+1,p (V )
et le lemme est démontré.
Grâce à ce lemme, nous pouvons appliquer l’hypothèse de récurrence et
obtenir que
v =
∂u
∂s
et w =
∂u
∂t
∈ W
k+1,p
loc
(R × S
1 ; R
2n ),
donc u ∈ W
k+2,p
loc
(R × S
1 ; R
2n ).
Il reste à démontrer l’inégalité sur les normes. Soient U et V des ouverts
relativement compacts avec V ⊂ U et soit ∈ {0, . . . , k}. Pour = 0, l’inégalité désirée a été démontrée ci-dessus. Pour ≥ 1, appliquons l’hypothèse
de récurrence à v (et de même à w) pour − 1, obtenant
v W ,p (V ) ≤ c
∂h
∂s
W −1,p (U )
+
∂
J
∂s
∂u
∂t
W −1,p (U )
+ v W −1,p (U )
.
Pour ≥ 2, on déduit de cette inégalité, en appliquant le lemme 12.4.4
v W ,p (V ) ≤ c
h W ,p (U ) + K
∂
J
∂s
W −1,p (U )
∂u
∂t
W −1,p (U )
+ v W −1,p (U )
≤ (h W ,p (U ) + Kc 0 u W ,p (U ) + u W ,p (U ) ).
Pour = 1, on utilise que
J ∈ W
k+1,p (V ) avec k ≥ = 1 pour déduire que
∂
J/∂s ∈ W
1,p et donc
∂
J
∂s
∂u
∂t
L p (U )
≤
∂
J
∂s
L ∞ (U )
∂u
∂t
L p (U )
≤ K
∂
J
∂s
W 1,p (U )
u W 1,p (U )
≤ K
J W 2,p (U ) u W 1,p (U )
≤ Kc 0 u W 1,p (U )
puisque
J W k+1,p (U ) ≤ c 0 . Par conséquent, on obtient aussi
v W 1,p (V ) ≤ c(h W 1,p (U ) + Kc 0 u W 1,p (U ) + u W 1,p (U ) ).
On a donc démontré, pour tout = 0, . . . , k (et pour w comme pour v) une
majoration de la forme
v W ,p (V ) ≤ c(h W ,p (U ) + u W ,p (U ) ).